 |
Questa pagina è stata trascritta e formattata, ma deve essere riletta. | |
| 280 | intorno alla curva gobba del quart’ordine ecc. |
sezione è una curva gobba del quart’ordine, per la quale passano infinite superficie del secondo grado. Invece, se le due superficie hanno in comune due rette non situate in uno stesso piano, ovvero anche una sola retta, che pero sia doppia sulla superficie di terz’ordine, la rimanente intersezione è una curva gobba di quart’ordine, per la quale non passa alcuna superficie di secondo grado, oltre la data.
Sonvi adunque due curve gobbe del quart’ordine, essenzialmente diverse; l’una è l’intersezione di due (epperò d’infinite) superficie di secondo grado; l’altra non può altrimenti essere definita che la parziale intersezione di una superficie del secondo con una del terz’ordine.
Per lo avanti, la linea comune a due superficie di secondo grado era la sola curva gobba del quart’ordine che si conoscesse. I signori Salmon e Cayley primi notarono l’esistenza della seconda curva dello stesso ordine. Questa si è poi presentata anche al sig. Steiner, nella sua preziosa memoria Ueber die Flächen dritten Grades, che è inserita nel tomo LIII del giornale matematico di Berlino (1857).
Nella presente memoria, con semplici considerazioni di geometria pura, e senza presupporre la conoscenza delle formole date da Cayley e da Salmon nelle memorie citate ed in altro ingegnosissimo lavoro di quest’ultimo geometra (On the degree of the surface reciprocal to a given one1), io mi propongo di esporre e dimostrare, non solo le proprietà della nuova curva già dichiarate da Salmon e da Steiner, ma altre ancora che credo nuove, e segnatamente la costruzione geometrica (lineare) della curva, mediante intersezioni de’ piani omologhi di tre fasci projettivi.
Solamente ammetterò come conosciute le formole di Plücker, relative alle linee piane, e perchè queste sono generalmente note, ed anche perchè spero di pubblicar fra poco una dimostrazione puramente geometrica delle medesime, in uno studio intorno alla teoria generale delle curve piane.
Siano:
m l’ordine di una data linea piana, ossia il numero de’ punti in cui è segata da una retta arbitraria;
m’ la classe della curva, cioè il numero delle tangenti che arrivano ad essa da uno stesso punto arbitrario;
d il numero de’ punti doppi;
d’ il numero delle tangenti doppie;
s il numero de’ punti stazionari (cuspidi o punti di regresso).
s’ il numero delle tangenti stazionarie (tangenti ne’ flessi).
- ↑ Transactions of the R. Irish Academy vol. XXIII, Dublin 1857.
