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I punti di $Q$ sono poli di coniche consistenti in coppie di rette coniugate armonicamente con $PQ$; ed i punti di $P$ sono poli di coniche composte della retta fissa $Q$ e di una retta variabile intorno ad un punto fisso $o$ di $Q$. Il punto $PQ$, appartenendo ad entrambe quelle rette, sarà il polo della conica $Q^{2}$; ed il punto $o$, doppio per le coniche polari de’ punti di $P$, avrà per conica polare $P^{2}$. Si vede anche facilmente che, come nel caso precedente i punti $QR,RP,PQ$ erano i poli delle rette $P,Q,R$ rispetto a tutte le coniche della rete, così nel caso attuale i punti $o$ e $PQ$ sono i poli delle rette $P,Q$ relativamente a tutte le coniche della rete.

Da ciò che precede si raccoglie che tutte le coniche della rete toccano $Q$ nel punto $PQ$, e siccome questo punto ha per polare la conica $Q^{2}$, così la cubica fondamentale avrà una cuspide nel punto $PQ$ colla tangente $Q$. E la retta $P$ (che nel caso precedente, più generale, conteneva tre flessi della cubica) nel caso attuale congiunge la cuspide al flesso (unico) della curva fondamentale. La conica polare del flesso è composta della retta $Q$ e della tangente stazionaria: quindi il punto $o$ è l’intersezione della tangente cuspidale colla tangente stazionaria.

24. Può aver luogo il caso ancor più particolare che tutti e tre i lati del triangolo coniugato $PQR$ coincidano in una sola retta $P$. Allora è chiaro che ogni punto di $P$ sarà il polo di una conica composta della stessa retta $P$ e di una seconda retta variabile intorno ad un punto fisso $o$ di $P$; e questo punto $o$ sarà il polo della conica $P^{2}$. Ne segue che tutte le coniche della rete hanno fra loro un contatto tripunto in $o$ colla tangente $P$; e che tutti i punti di questa retta appartengono alla cubica fondamentale, la quale risulta composta della retta $P$ e di una conica tangente a $P$ in $o$.

Naturalmente la Hessiana è in questo caso la retta $P$ presa tre volte.

25. Le considerazioni precedenti manifestano che allorquando la rete contiene una conica $P^{2}$, o due coniche $P^{2},Q^{2}$, affinchè quella ammetta una cubica fondamentale è necessario che le coniche della rete si possano risguardare come coniugate ad uno stesso triangolo di cui i tre lati o due soltanto coincidono insieme: ossia è necessario che, nel primo caso, tutte le coniche della rete abbiano fra loro un contatto tripunto colla tangente comune $P$; e nel secondo caso, che le coniche della rete tocchino una delle rette $P,Q$ nel punto comune a queste, ed abbiano rispetto all’altra uno stesso polo fisso. [53]

Ma se la rete contiene una o due coniche consistenti in un pajo di rette coincidenti, e non sono sodisfatte le dette condizioni, le coniche della rete non costituiscono un sistema di polari. Ciò ha luogo per es. se la rete è individuata da una conica $P^{2}$ e da due coniche che non seghino $P$ negli stessi punti; se la rete è formata da coniche seganti una retta $P$ in due punti fissi e rispetto alle quali un altro punto fisso di $P$ abbia per polare una retta data; se la rete contiene due coniche $P^{2},Q^{2}$ ed un’altra