Pagina:Ossino - Appunti di relatività.pdf/116

114

PARTICELLE-DI-LUCE E ONDE-DI-MATERIA

NUOVA FORMULAZIONE OPERAZIONALE

Le velocità in gioco nella Meccanica atomica sono molto minori della velocità della luce, per queste applicazioni la teoria di Schrödinger funziona bene. Oltre il 10% della velocità della luce l’errore supera di alcuni ordini di grandezza la precisione sperimentale, occorre quindi una formulazione valida per qualsiasi velocità $u\leq c$, tale che per $u\ll c$ sia equivalente alla teoria di Schrödinger, mentre per $u=c$ sia compatibile con la teoria elettromagnetica.

La teoria di de Broglie e quella da Schrödinger in ultima analisi si basano entrambe sull’assioma che la legge di Planck ($W=\hbar \omega$) sia applicabile anche all’energia delle particelle materiali. La differenza fondamentale consiste nel parametro che si sostituisce all’energia $W$. De Broglie considera l’energia totale $E=mc^{2}\gamma$, mentre Schrödinger fa riferimento all’energia cinetica classica $T=mu^{2}/2$. In realtà vi sono tre opzioni relativistiche:

-1 - l’energia inerziale intrinseca $E_{\mathrm {O} }=mc^{2}$;

-2 - l’energia cinetica $\Delta E=mc^{2}(\gamma -1)$;

-3 - l’energia totale $E=mc^{2}\gamma =\Delta E+E_{\mathrm {O} }$.

Se escludiamo interazioni con creazione e annichilazione di particelle, la quantità $E_{\mathrm {O} }$ non partecipa in nessun modo nei processi di urto, quindi è incompatibile con la quantità $W$ che invece è totalmente disponibile. Inoltre non si sono mai osservati effetti ondulatori riferibili alla particella ferma. Per la stessa ragione si deve escludere anche l’energia $E=mc^{2}\gamma$, che comprende l’energia $E_{\mathrm {O} }$. La sola energia totalmente disponibile, in tutto assimilabile all’energia $W$, è l’energia $\Delta E$. Riferendo a questa l’effetto ondulatorio abbiamo i seguenti parametri operazionali:

-Frequenza:	$\omega _{\phi }=\Delta E/\hbar =mc^{2}(\gamma -1)/\hbar$.
-Numero d’onda:	$k_{\phi }=\Delta p/\hbar =mu\gamma /\hbar$.
-Velocità di fase:	$V_{\phi }=\Delta E/\Delta p=u/(1+1/\gamma )$.