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sulle serie a termini positivi

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E quì giova osservare che, siccome le quantità ${\frac {\mathrm {Log} ^{p-1}\sigma _{n}}{\mathrm {Log} ^{p}\sigma _{n}}}$ crescono indefinitamente con $n$ (V. nota precedente), così dalla (4) si vede che quando si sarà trovata una quantità $\lambda _{p-1}$ che abbia un limite maggior di zero, tutte quelle che la seguono avranno per limite l’infinito positivo, e quando se ne sarà trovata una che è sempre negativa fuori del limite, quella che la segue immediatamente avrà un limite che sarà al certo negativo e che potrà essere finito o infinito; e tutte le $\lambda$ seguenti avranno per limite l’infinito negativo.

15. Per dare una applicazione del teorema del numero 12 cerchiamo che cosa accada della serie

(5)

$\sum {\frac {1}{\varphi (n)\sigma _{n}\mathrm {Log} ~\sigma _{n}\cdots \mathrm {Log} ^{p-1}\sigma _{n}(\mathrm {Log} ^{p}\sigma _{n})^{1+\mu }}},$

quando $\mu$ è positivo ma tende a zero.

Si ha per questa serie evidentemente

$\lambda _{p+1}=\mu ,$

$\lambda _{p+2}=\mu {\frac {\mathrm {Log} ^{p+1}\sigma _{n}}{\mathrm {Log} ^{p+2}\sigma _{n}}}-1;$

dunque questa serie sarà convergente o divergente secondo che

$\lim \left(\mu {\frac {\mathrm {Log} ^{p+1}\sigma _{n}}{\mathrm {Log} ^{p+2}\sigma _{n}}}\right)\lessgtr 1.$

Questo risultato rende evidentemente più completi i teoremi dei numeri 8, 9.

Se si suppone $\mu ={\frac {a}{\sigma _{n}}}+{\frac {b}{\sigma _{n}^{2}}}+\cdots$ con $a$ positiva, allora evidentemente si ha

$\lim \left\{\mu {\frac {\mathrm {Log} ^{p+1}\sigma _{n}}{\mathrm {Log} ^{p+2}\sigma _{n}}}\right\}=$

$=\lim \left\{\mu \mathrm {Log} ~\sigma _{n}{\frac {\mathrm {Log} ^{2}\sigma _{n}}{\mathrm {Log} ~\sigma _{n}}}{\frac {\mathrm {Log} ^{3}\sigma _{n}}{\mathrm {Log} ^{2}\sigma _{n}}}\cdots {\frac {\mathrm {Log} ^{p+1}\sigma _{n}}{\mathrm {Log} ^{p}\sigma _{n}}}{\frac {1}{\mathrm {Log} ^{p+2}\sigma _{n}}}\right\}=0,$

e quindi la serie (5) in questo caso è divergente.