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ulisse dini

Si prenda infatti $k_{n}=R_{n}$, ciò che può farsi poichè $\sum u_{n}$ è convergente, si avrà

$h_{n}={\frac {k_{n}-k_{n+1}}{v_{n+1}}}=R_{n+1}$

$m_{n}={\frac {R_{n}}{R_{n+1}}}=1+{\frac {u_{n+1}}{R_{n+1}}}$

e quindi $\sum {\frac {u_{n}}{R_{n}}}$ sarà divergente.

6. Servendosi del teorema del numero 1 è facile anche di dimostrare il seguente: Se $\sum u_{n}$ è una serie divergente i cui termini non crescono indefinitamente, la serie $\sum {\frac {u_{n}}{S_{n}^{\mu }}}$ sarà convergente se $\mu >1$ e divergente se $\mu \leq 1$.

Prendiamo infatti $k_{n}={\frac {1}{S_{n}^{\mu '}}}$, ove $\mu '$ è una quantità positiva e

$S_{n}=u_{1}+u_{2}+u_{3}+\cdots +u_{n};$

per la serie $\sum {\frac {u_{n}}{S_{n}^{\mu }}}$ si avrà

$h_{n}={\frac {(S_{n+1}^{\mu '}-S_{n}^{\mu '})S_{n+1}^{\mu }}{S_{n}^{\mu '}S_{n+1}^{\mu '}u_{n+1}}}$

ovvero

$h_{n}={\frac {\left(1+{\dfrac {u_{n+1}}{S_{n}}}\right)^{\mu '}-1}{\dfrac {u_{n+1}}{S_{n}}}}{\dfrac {S_{n+1}^{\mu -\mu '}}{S_{n}}}={\frac {\left(1+{\dfrac {u_{n+1}}{S_{n}}}\right)^{\mu '}-1}{\dfrac {u_{n+1}}{S_{n}}}}\left(1+{\frac {u_{n+1}}{S_{n}}}\right)S_{n+1}^{\mu -\mu '-1}.$

Ma $\lim {\frac {u_{n+1}}{S_{n}}}=0$; quindi per una formola nota, si avrà qualunque sia $\mu '$

$\lim {\frac {\left(1+{\dfrac {u_{n+1}}{S_{n}}}\right)^{\mu '}-1}{\dfrac {u_{n+1}}{S_{n}}}}=\mu ';$