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106 | Capitolo 8 - Esempi di distribuzioni teoriche |
nessuno dei momenti esiste, nemmeno la media.
è la mediana della distribuzione e d ne misura la larghezza a metà altezza, come è rilevabile ad esempio dalla figura 8d. La funzione caratteristica della distribuzione di Cauchy è la
;
per la cosiddetta variabile standardizzata,
funzione di frequenza, funzione di distribuzione e funzione caratteristica valgono rispettivamente
Secondo la funzione (8.6) sono, ad esempio, distribuite le intensità nelle righe spettrali di emissione e di assorbimento degli atomi (che hanno una ampiezza non nulla); e la massa invariante delle risonanze nella fisica delle particelle elementari. È evidente però come nella fisica la distribuzione di Cauchy possa descrivere questi fenomeni solo in prima approssimazione: infatti essa si annulla solo per , ed è chiaramente priva di significato fisico una probabilità non nulla di emissione spettrale per frequenze negative, o di masse invarianti anch’esse negative nel caso delle risonanze.
Per la distribuzione di Cauchy troncata, ossia quella descritta dalla funzione di frequenza (per la variabile standardizzata)
(discontinua in ), esistono invece i momenti: i primi due valgono
e