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9.4 - Il significato geometrico di σ

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Possiamo quindi far uso di una qualsiasi di queste relazioni per dare una interpretazione probabilistica dell’errore quadratico medio:

• Le misure affette da errori casuali (e quindi normali) hanno una probabilità del 68% di cadere all’interno di un intervallo di semiampiezza $\sigma$ centrato sul valore vero della grandezza misurata.
• L’intervallo di semiampiezza $\sigma$ centrato su di una misura qualsiasi di un campione ha pertanto una probabilità del 68% di contenere il valore vero, sempreché gli errori siano casuali e normali.

9.4 Il significato geometrico di $\sigma$

Calcoliamo ora la derivata prima della funzione di Gauss, nella sua forma (9.2):

${\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} z}}=-\,{\frac {z}{{\sqrt {2\pi }}\,\sigma ^{3}}}\,e^{-{\frac {z^{2}}{2\sigma ^{2}}}}$.

La funzione $f(z)$ è crescente ($f'(z)>0$) quando z è negativa, e viceversa; ha quindi un massimo per $z=0$, come d’altronde richiesto dalle ipotesi fatte nel paragrafo 9.1 per ricavarne la forma analitica. La derivata seconda invece vale

${\frac {\mathrm {d} ^{2}f}{\mathrm {d} z^{2}}}$	$=-\,{\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\,\sigma ^{3}}}\,e^{-{\frac {z^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\,-\,{\frac {z}{{\sqrt {2\pi }}\,\sigma ^{3}}}\,e^{-{\frac {z^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\left(-\,{\frac {z}{\sigma ^{2}}}\right)$
	$={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\,\sigma ^{3}}}\,e^{-{\frac {z^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\left({\frac {z^{2}}{\sigma ^{2}}}-1\right)$

e si annulla quando $z=\pm \sigma$.

Da qui si può allora ricavare il significato geometrico dell’errore quadratico medio $\sigma$ in relazione alla distribuzione normale:

L’errore quadratico medio $\sigma$ può essere interpretato geometricamente come valore assoluto delle ascisse dei due punti di flesso della curva di Gauss.

9.5 La curva di Gauss nella pratica

Un campione di N misure di una grandezza fisica con valore vero $x^{*}$, affette da soli errori casuali normali con errore quadratico medio $\sigma$, avrà