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pando; ed il sistema completo di queste linee è rappresentato dal sistema differenziale

$dx:dy:dz=a_{1},:b_{1}:c_{1}$ .

Analogamente si ottengono due altri sistemi ( $s_{2}$ ) ed ( $s_{3}$ ). Quando i punti dello spazio si considerano in relazione al sistema ( $s_{i}$ ), le coordinate $x$ , $y$ , $z$ di uno qualunque di essi si possono riguardare come funzioni di due parametri indipendenti (le costanti d’integrazione del corrispondente sistema differenziale) atti ad individuare la linea passante per esso nel sistema ( $s_{1}$ ), e dell’arco di questa linea compreso fra un punto individuato e quello che si considera. Indicando per semplicità con $s_{i}$ quest’arco, si può dunque porre, in talsenso,

{\frac {dx}{ds_{1}}}=a_{i}

,

{\frac {dy}{ds_{1}}}=b_{i}

,

{\frac {dz}{ds_{1}}}=c_{i}

.

(1)

Ma in generale i primi membri di queste equazioni designeranno semplici rapporti differenziali fra l’elemento lineare

ds_{i}

uscente dal punto

(x,y,z)

e le sue projezioni

dx

,

dy

,

dz

sui tre assi coordinati.

Ciò premesso, consideriamo le nove espressioni $K$ che si deducono dalla seguente

$K_{ij}=a_{i}{\bigg (}{\frac {dc_{j}}{dy}}-{\frac {db_{j}}{dz}}{\bigg )}+b_{i}{\bigg (}{\frac {da_{j}}{dz}}-{\frac {dc_{j}}{dx}}{\bigg )}+c_{i}{\bigg (}{\frac {db_{j}}{dx}}-{\frac {da_{j}}{dy}}{\bigg )}$

col dare tanto ad $i$ quanto a $j$ i tre valori 1, 2, 3¹.

Dalla forma di queste espressioni si deducono immediatamente, in virtù delle notissime relazioni sussistenti fra i nove coseni, le tre equazioni seguenti:

\left.{\begin{matrix}{\frac {da_{1}}{dx}}+{\frac {db_{1}}{dy}}+{\frac {dc_{1}}{dz}}=K_{32}-K_{23},\\{\frac {da_{2}}{dx}}+{\frac {db_{2}}{dy}}+{\frac {dc_{2}}{dz}}=K_{13}-K_{31},\\{\frac {da_{3}}{dx}}+{\frac {db_{3}}{dy}}+{\frac {dc_{3}}{dz}}=K_{21}-K_{12}.\end{matrix}}\right\}

(2)

↑ Queste espressioni, per il caso speciale di $i=j$ , si sono già presentate al signor Bertrand (Journal de Liouville, t. IX), ma senza porgergli occasione di separata investigazione. Si può vedere presso questo autore qual sia il significato geometrico delle tre espressioni suddette ( $K_{11}$ , $K_{22}$ , $K_{33}$ ), significato che qui non avremo bisogno d’invocare, sebbene chiaramente emerga dalle successive formole (3).

[1] Queste espressioni, per il caso speciale di $i=j$ , si sono già presentate al signor Bertrand (Journal de Liouville, t. IX), ma senza porgergli occasione di separata investigazione. Si può vedere presso questo autore qual sia il significato geometrico delle tre espressioni suddette ( $K_{11}$ , $K_{22}$ , $K_{33}$ ), significato che qui non avremo bisogno d’invocare, sebbene chiaramente emerga dalle successive formole (3).

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