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Pagina:Beltrami - Saggio di interpretazione della geometria non euclidea, 1868.djvu/11

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)( 7 )(

dove indica il valore positivo del radicale . In virtù del precedente valore di la (7) può scriversi

,


cosicchè il semiperimetro della circonferenza geodetica di raggio è dato da

(8) ossia .

Dalle cose precedenti risulta che le geodetiche della superficie sono rappresentate, nel loro totale sviluppo (reale), dalle corde del cerchio limite, mentre i prolungamenti di queste corde fuori del cerchio stesso sono destituiti d’ogni rappresentanza (reale). D’altronde due punti reali della superficie sono rappresentati da due punti, parimente reali, interni al cerchio limite, i quali individuano una conda del cerchio stesso. Si vede dunque che due punti reali della superficie, scelti in modo qualunque, individuano sempre una sola e determinata linea geodetica, che è rappresentata nel piano ausiliare dalla corda passante pei loro punti corrispondenti.

Così le superficie di curvatura costante negativa non vanno soggette a quelle eccezioni che si verificano sotto questo rapporto in quelle di curvatura costante positiva, epperò sono ad esse applicabili i teoremi della planimetria non-euclidea. Anzi questi teoremi non sono in gran parte suscettibili di concreta interpetrazione, se non vengono riferiti precisamente a queste superficie anzichè al piano, come ora procediamo a diffusamente dimostrare. Per evitare circonlocuzioni ci permettiamo di denominare pseudosferiche le superficie di curvatura costante negativa, e di conservare il nome di raggio alla costante da cui dipende il valore della loro curvatura.


Cerchiamo primieramente la relazione generale che sussiste fra l’angolo di due linee geodetiche e l’angolo delle corde che le rappresentano.

Sia () un punto della superficie, () un punto qualunque di una delle geodetiche uscenti da esso. Le equazioni di due fra queste geodetiche siano

.

Chiamando l'angolo delle geodetiche nel punto () si ha da una formula nota

,