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Pagina:Beltrami - Saggio di interpretazione della geometria non euclidea, 1868.djvu/18

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si ha l’incremento che riceve l’area del triangolo considerato, quando si sposta il cateto opposto all’angolo . Integrando di nuovo fra e (dei quali valori il primo evidentemente corrisponde ad ) si ottiene


,


espressione dell’area totale del triangolo rettangolo. Da questa si passa tosto a quella di un triangolo geodetico qualunque , dividendolo in due triangoli rettangoli con una geodetica condotta da un vertice normalmente al lato opposto, e si trova


.


Questa espressione, dovendo riuscire positiva, manifesta che la somma dei tre angoli di un triangolo geodetico qualunque non può mai eccedere . Se essa fosse eguale a in un solo triangolo, di dimensioni finite, bisognerebbe che fosse , ed allora in ogni altro triangolo finito si avrebbe parimente . Ma per la (9), quindi l’angolo di parallelismo sarebbe necessariamente retto; e reciprocamente. Questo sono pure le conclusioni cui giunge la geometria non-euclidea.

Il triangolo formato da una geodetica e dalle due geodetiche ad essa parallele condotte per un punto esterno, ha due angoli nulli ed il terzo eguale a ; quindi la sua area è finita e data da

ossia, per la (9), da ,


dove è la distanza dal punto alla geodetica. Per molto grande questa quantità è prossimamente eguale a , ed è quindi infinita per il piano, come è noto, ma non lo è che in questo caso.

Un triangolo geodetico i cui vertici sono tutti all’infinito ha un’area finita e determinata, il cui valore è indipendente dalla sua forma.

Un poligono geodetico di lati, cogli angoli interni , , ,... ha l’area


.


Se il poligono ha tutti i vertici all’infinito, la sua area, che non cessa d’essere finita, si riduce a ed è quindi indipendente dalla sua forma.


Passiamo ora ad esaminare quelle curve che abbiamo chiamate, secondo un uso già ricevuto, circonferenze geodetiche.

Alla fine della Nota II abbiamo trovato che la circonferenza geodetica col cen-