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si combina quest’altra

(16)	${\frac {u_{0}v-uv_{0}}{a^{2}-uu_{0}-vv_{0}}}={\frac {\sigma }{\text{R}}}$,

e si tien conto della relazione $u_{0}^{2}+v_{0}^{2}=a^{2}$, si trova che l’elemento lineare (1) assume la forma

(17)	$ds^{2}=d\rho ^{2}+e^{-{\frac {2_{\rho }}{\text{R}}}}d\sigma ^{2}$,

la quale conviene di nuovo ad una superficie di rotazione.

Indicando con $r_{0}$ il raggio del parallelo $\rho =0$, di cui $\sigma$ è l’arco, con $r$ quello del parallelo $\rho$, si ha

$r=r_{0}e^{-{\frac {\rho }{\text{R}}}}$,

e quindi la supeficie di rotazione non è reale che dentro i limiti determinali dalla relazione $\rho >{\text{R}}\log {\frac {r_{0}}{\text{R}}}$, talchè la circonferenza $\rho =0$ non può diventare realmente un parallelo se non si prende $r_{0}\leq {\text{R}}$. Il parallelo massimo ha il raggio R e corrisponde al valore $\rho ={\text{R}}\log {\frac {r_{0}}{\text{R}}}$; quindi con una opportuna determinazione di $r_{0}$ esso può essere occupalo da una qualunque delle circonferenze considerate; p.es. facendo $r_{0}={\text{R}}$ si ha la stessa circonferenza iniziale $\rho =0$. Il parallelo minimo corrisponde a $\rho =\infty$ ed ha il raggio nullo, cosicchè la superficie di rotazione si avvicina assintoticamente al suo asse da una sola parte, mentre dall’altra è limitata dal piano del parallelo massimo col quale si accorda tangenzialmente. Su questa superficie si ravvolge infinite volte la superficie pseudosferica, terminata alla linea $\rho =0$, se $r_{0}={\text{R}}$.

La curvatura tangenziale di un parallelo qualunque si trova essere ${\frac {1}{\text{R}}}$, cioè eguale per tutti. Ora il raggio della curvatura tangenziale di un parallelo non è altro che, la porzione di tangente al meridiano compresa fra il punto di contatto (sul parallelo considerato) e l’asse. Dunque per l’attuale superficie di rotazione questa porzione di tangente è costante, la curva meridiana è la nota linea dalla tangenti costanti, e la superficie generata è quella che si suole risguardare come tipo delle superficie di curvatura costante negativa (Liouville nella nota IV a Monge).

D’altra parte le circonferenze geodetiche col centro all’infinito corrispondono manifestamente agli oricicli della geometria di Lobatschewsky (Théorie géométrique, n°31 e 32). Conservando questa denominazione noi possiamo dunque dire che un sistema di oricicli concentrici si trasforma, mediante una flessione opportuna della superficie, nel sistema dei paralleli della superficie di rotazione generata dalla linea delle tangenti costanti.