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Pagina:Beltrami - Saggio di interpretazione della geometria non euclidea, 1868.djvu/30

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)( 26 )(

evidente nella proiezione centrale della sfera). Anche la lunghezza di un arco geodetico uscente dall’origine conserva nel secondo sistema la forma che aveva nel primo, essendo data da

(2) .

Vediamo ora l’effetto di un cambiamento d’origine.

Per tal uopo prendiamo un punto qualunque (, ) e supponiamo che la fondamentale del secondo sistema passi per esso, cioè supponiamo , e quindi

(3) , ,

dove . Indi formiamo un terzo sistema, colle coordinate , , avente per fondamentali la geodetica e l’altra geodetica condotta normalmente a questa per il punto (, ).

Conduciamo dal punto (, ) qualunque una geodetica perpendicolare alla e chiamiamone: la lunghezza, la distanza dalla primitiva origine (misurata sulla ). La (2) dà tosto

(4) .

mentre dalla (1)' si deduce agevolmente, ponendo ,

(5) .

La distanza geodetica delle due origini (), (, ) ha per valore

,


talchè l’arco geodetico compreso sulla geodetica fondamentale del terzo sistema (che è la stessa cosa della ), fra il punto (, ) e la normale , è dato da

(6) .

Ma chiamando la costante analoga ad nel terzo sistema, ed osservando che in questo sistema le quantità analoghe alle , del secondo sono e , è chiaro che in analogia colle (4) (5) si deve avere

, .