Pagina:Beltrami - Saggio di interpretazione della geometria non euclidea, 1868.djvu/30

)( 26 )(

evidente nella proiezione centrale della sfera). Anche la lunghezza di un arco geodetico uscente dall’origine conserva nel secondo sistema la forma che aveva nel primo, essendo data da

(2)	$\rho ={\frac {\text{R}}{2}}\log {\frac {a+{\sqrt {u'^{2}+v'^{2}}}}{a-{\sqrt {u'^{2}+v'^{2}}}}}$.

Vediamo ora l’effetto di un cambiamento d’origine.

Per tal uopo prendiamo un punto qualunque ($u_{0}$, $v_{0}$) e supponiamo che la fondamentale $v'=0$ del secondo sistema passi per esso, cioè supponiamo $\cos \mu ={\frac {u_{0}}{r_{0}}}$, $\operatorname {sen} \mu ={\frac {v_{0}}{r_{0}}}$ e quindi

(3)

$u={\frac {u_{0}u'-v_{0}v'}{r_{0}}}$,

$v={\frac {u_{0}u'-v_{0}v'}{r_{0}}}$,

dove $r_{0}={\sqrt {u_{0}^{2}+v_{0}^{2}}}$. Indi formiamo un terzo sistema, colle coordinate $u''$, $v''$, avente per fondamentali la geodetica $v'=0$ e l’altra geodetica condotta normalmente a questa per il punto ($u_{0}$, $v_{0}$).

Conduciamo dal punto ($u'$, $v'$) qualunque una geodetica perpendicolare alla $v'=0$ e chiamiamone: $q$ la lunghezza, $p$ la distanza dalla primitiva origine (misurata sulla $v'=0$). La (2) dà tosto

(4)	$p={\frac {\text{R}}{2}}\log {\frac {a+u'}{a-u'}}$.

mentre dalla (1)' si deduce agevolmente, ponendo $du'=0$,

(5)	$q={\frac {\text{R}}{2}}\log {\frac {{\sqrt {a^{2}-u'^{2}}}+v'}{{\sqrt {a^{2}-u'^{2}}}-v'}}$.

La distanza geodetica $p_{0}$ delle due origini ($u=v=0$), ($u_{0}$, $v_{0}$) ha per valore

$p_{0}={\frac {\text{R}}{2}}\log {\frac {a+r_{0}}{a-r_{0}}}$,

talchè l’arco geodetico compreso sulla geodetica fondamentale $v''=0$ del terzo sistema (che è la stessa cosa della $v'=0$), fra il punto ($u_{0}$, $v_{0}$) e la normale $q$, è dato da

(6)	$p-p_{0}={\frac {\text{R}}{2}}\log {\frac {(a+u')(a-r_{0})}{(a-u')(a+r_{0})}}$.

Ma chiamando $a_{0}$ la costante analoga ad $a$ nel terzo sistema, ed osservando che in questo sistema le quantità analoghe alle $p$, $q$ del secondo sono $p-p_{0}$ e $q$, è chiaro che in analogia colle (4) (5) si deve avere

$p-p_{0}={\frac {\text{R}}{2}}\log {\frac {a_{0}+u''}{a_{0}-u''}}$,

$q={\frac {\text{R}}{2}}\log {\frac {{\sqrt {a_{0}^{2}-u''^{2}}}+v''}{{\sqrt {a_{0}^{2}-u''^{2}}}-v''}}$.