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di sovrapposizione non patisce eccezione per alcuna delle dette superficie. Ma rispetto al postulato della retta (o per meglio dire della geodetica) abbiamo già notato che si incontrano delle eccezioni sulla sfera, e per conseguenza su tutte le superficie di curvatura costante positiva. Ora queste eccezioni esistono anche sulle superficie di curvatura costante negativa? Vale a dire, può egli darsi il caso, su queste ultime superficie, che due punti non determinino una sola ed individuata linea geodetica?

Questa quistione non è, per quel ch’io sappia, ancora stata esaminata. Se si può provare che tali eccezioni non sono possibili, diventa evidente a priori che i teoremi della planimetria non-euclidea sussistono incondizionatamente per tutte le superficie di curvatura costante negativa. Allora certi risultati che sembravano incompatibili coll’ipotesi del piano possono diventar conciliabili con quella di una superficie della specie anzidetta, e ricevere da essa una spiegazione non meno semplice che soddisfacente. In pari tempo le determinazioni che producono il passaggio dalla planimetria non-euclidea alla euclidea possono spiegarsi con quelle che individuano la superficie di curvatura nulla nella serie delle superficie di curvatura costante negativa.

Tali sono le considerazioni che ci hanno servito di guida nelle ricerche seguenti.

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La formola

(1)	$ds^{2}=R^{2}{\frac {(a^{2}-v^{2})du^{2}+2uv\;du\;dv+(a^{2}-u^{2})dv^{2}}{(a^{2}-u^{2}-v^{2})^{2}}}$

rappresenta il quadrato dell’elemento lineare di una superficie la cui curvatura sferica è dovunque costante, negativa ed eguale a $-{\frac {1}{R^{2}}}$. La forma di quest’espressione, benchè meno semplice di quella d’altre espressioni equivalenti che si potrebbero ottenere introducendo altre variabili, ha il particolare vantaggio (assai rilevante per lo scopo nostro) che ogni equazione lineare rispetto ad $u,v$ rappresenta una linea geodetica, e che, reciprocamente, ogni linea geodetica è rappresentata da un’equazione, lineare fra quelle variabili (Veggasi la Nota I in fine).

In particolare anche i due sistemi coordinati $u={\text{cost}}.$, $v={\text{cost}}$. sono formati di linee geodetiche, delle quali è facile riconoscere la mutua disposizione. Infatti chiamando $\theta$ l’angolo delle due curve coordinate nel punto ($u,r$) si ha

(2)

$\cos \theta ={\frac {uv}{\sqrt {(a^{2}-u^{2})(a^{2}-v^{2})}}},$

$\operatorname {sen} \theta ={\frac {a{\sqrt {a^{2}-u^{2}-v^{2}}}}{\sqrt {(a^{2}-u^{2})(a^{2}-v^{2})}}},$

quindi tanto per $u=0$, quanto per $v=0$ si ha $\theta =90^{o}$. Dunque le geodetiche componenti il sistema $u={\text{cost}}.$ sono tutte ortogonali alla geodetica $v=0$ dell’altro sistema, e le geodetiche del sistema $v={\text{cost}}.$ sono tutte ortogonali alla geodetica $u=0$ dell’altro sistema. Vale a dire: nel punto $(u=v=0)$ concorrono due geode-