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| 34 | GLI ELEMENTI D’EUCLIDE. |
somma sia minore di due retti, se si prolungano da questa parte, concorrono fra loro [ass. 12]; onde le linee rette AB, CD prolungate fra loro dovrebbero concorrere. Ma non concorrono, poiché esse sono parallele; dunque l’angolo AGH non sarà disuguale all’angolo GHD, e però gli sarà uguale. Ma l’angolo AGH è uguale [prop. 15] all’angolo EGB; dunque anche EGB sarà uguale a GHD. Aggiungasi BGH ad ambedue: la somma degli angoli EGB, BGH sarà uguale a quella degli angoli BGH, GHD. Ma gli angoli EGB, BGH fanno due retti [prop. 1S] dunque eziandio la somma di BGH, GHD sarà uguale a due retti; e però se una linea retta cade, ecc., c. d. d.
PROPOSIZIONE XXX.
teorema.
Le rette che sono parallele ad una medesima retta sono anche parallele fra loro.
Siano ambedue le AB, CD parallele alla EF. Dico che le AB e CD sono anche parallele fra loro.
Tirisi sopra esse la linea retta GK.
Poiché la linea retta GK cade sopra le linee rette parallele AB, EF, l’angolo AGH è uguale all’angolo GHF [prop. 29]. Inoltre, poiché la linea retta GK cade sopra le linee rette parallele EF, CD, l’angolo GHF è uguale all’angolo GKD. Adunque anche l’angolo AGK sarà uguale all’angolo GKD; ma essi sono alterni; dunque [prop. 27] la AB sarà parallela alla CD. E però le rette che sono, ecc., c. d. d.
