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| 50 | GLI ELEMENTI D’EUCLIDE. |
fanno due retti, quindi anche KHG e GHM faranno due retti. E perchè colla linea retta GH e nel dato punto H che è in essa, le due linee rette KH, HM non poste dalla medesima parte fanno due angoli conseguenti la cui somma è uguale a due retti, la KH sarà per diritto alla HM [prop. 14]. Poiché sopra le parallele KM, FG cade la linea retta HG, gli angoli alterni MHG, HGF sono uguali [prop. 29]; quindi, aggiungendo ad ambedue HGL, la somma degli angoli MHG, HGL sarà uguale a quella degli angoli HGF, HGL. Ma gli angoli MHG, HGL fanno due retti; quindi anche gli angoli HGF, HGL faranno due retti, e però [prop. 14] la FG è per diritto alla GL. Ora poiché la ALF è parallela alla HG e la HG è parallela alla LM anche la KF sarà parallela alla ML [prop. 30]; inoltre KM ed FL sono pur esse parallele; dunque la figura KFLM sarà un parallelogrammo. Ma il triangolo ABD è uguale al parallelogrammo HF, ed il triangolo DBC al parallelogrammo GM; quindi tutta la figura ABCD sarà uguale a tutto il parallelogrammo KFML. E così si è costruito nell’angolo FKM, uguale al dato angolo E, il parallelogrammo FKLM uguale al dato poligono ABCD; il che bisognava fare.
corollario.
Dalle cose dette è manifesto in qual modo si possa sopra una data retta, in un angolo dato, costruire un parallelogrammo uguale ad un poligono dato; imperocchè basta costruire [prop. 44] sopra la retta data, nell’angolo dato, un parallelogrammo uguale al primo triangolo ABD.
PROPOSIZIONE XLVI.
problema.
Sopra una data linea retta descrivere un quadrato.
