Pagina:Bonola - La geometria non-euclidea.djvu/11

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che non s’incontrano sono equidistanti; ovvero che il luogo dei punti equidistanti da una retta è una retta. Per tale dimostrazione Euclide si giova appunto del suo postulato.

Proclo [pag. 364] si rifiuta però di annoverarlo fra i postulati, osservando, a conferma di tale sua opinione, il fatto che la sua inversa [«La somma di due angoli di un triangolo è minore di due angoli retti»], è un teorema dimostrato da Euclide [ Prop. XVII ], non sembrandogli possibile che una proposizione, la cui inversa è dimostrabile, non sia alla sua volta dimostrabile. Mette anche in guardia contro gli abusivi appelli all’evidenza ed insiste sulla possibile [ipotetica] esistenza di rette asintotiche [pag. 191-2].

Tolomeo [2° sec. d. C.], sempre al dire di Proclo [p. 362-5], tentò di risolvere la questione con questo curioso ragionamento. Siano AB, CD due parallele, FG una trasversale, α e β i due angoli interni a sinistra di FG, ed α’ e β’ i due angoli interni a destra. Ciò posto la somma α + β sarà o maggiore o minore ovvero uguale a due angoli retti. Si ammetta che se per una coppia di parallele si verifica, ad es., il 1° caso [], altrettanto avvenga per ogni altra coppia. Allora poichè le rette FB, GD sono fra loro parallele, come sono parallele le rette FA, GC, così da: , si deduce: . Seguirebbe: , il che è manifestamente assurdo. Dunque non può essere . Nello stesso modo si dimostra che non può