Pagina:Bonola - La geometria non-euclidea.djvu/119

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Allora, rispetto al nuovo sistema fondamentale {B, C,.... H}, le due ipotesi M, N non sono equivalenti.

Dopo questi schiarimenti di ordine logico vediamo che cosa risulti dai precedenti sviluppi, circa l'equivalenza fra talune ipotesi e l'ipotesi euclidea.

Assumiamo in primo luogo come sistema fondamentale di ipotesi quello formato dai postulati di associazione [A] e di distribuzione [B], che caratterizzano nel modo ordinario i concetti di retta e piano; dai postulati della congruenza [C], dal postulato di Archimede [D].

Relativamente a questo sistema fondamentale, che indicheremo con {A, B, C, D}, le seguenti ipotesi sono fra loro equivalenti ed equivalenti a quella formulata da Euclide nel suo V postulato:

a) Gli angoli interni da una stessa parte, formati da due parallele con una trasversale sono supplementari [TOLOMEO].

b) Due rette parallele sono equidistanti.

c) Se una retta incontra una di due parallele incontra anche l'altra [PROCLO]; oppure: due rette parallele ad una terza sono parallele fra loro; od anche: per un punto fuori d'una retta passa una sola parallela a quella retta.

d) D'un triangolo qualunque può sempre costruirsi un triangolo simile di grandezza arbitraria [Wallis].

e) Per tre punti non in linea retta passa sempre una sfera [W. Bolyai].

f) Per un punto situato fra i lati di un angolo passa sempre una retta che interseca i due lati dell'angolo [LORENZ].

alfa) Se due rette r, s, sono l'una perpendicolare e l'altra obbliqua alla trasversale AB, i segmenti di perpendicolare calati dai punti di s su r sono minori di AB, dalla banda da cui AB forma con s un angolo acuto [NASÎR EDDÎN].