Pagina:Bonola - La geometria non-euclidea.djvu/130

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e rottura possa applicarsi sopra una regione piana. È chiaro che in questo caso dovranno chiamarsi uguali sulla superficie due figure che si distendano sopra figure piane uguali; ben inteso che due figure siffatte non sono generalmente uguali nello spazio.

Ritornando ad una superficie qualsiasi, il sistema di convenzioni innanzi accennato da origine ad una geometria sopra la superficie, che intendiamo sempre di considerare per regioni convenientemente limitate [regioni normali]. Due superficie applicabili l'una sull'altra con una flessione senza estensione avranno la medesima geometria; così, per es., sopra una qualsiasi superficie cilindrica ed in genere sopra una qualsiasi superficie sviluppabile, si avrà una geometria simile a quella d'una superficie piana.

Un esempio di geometria sopra una superficie, essenzialmente diversa da quella del piano, ci è data dalla geometria della sfera, perchè è impossibile applicare una porzione di sfera sopra il piano. Tuttavia fra la geometria piana e quella sferica abbiamo però una notevole analogia: questa analogia trova il suo fondamento nel fatto che la sfera può muoversi liberamente su se stessa, precisamente come il piano; sicchè per le figure uguali sulla sfera valgono delle proposizioni in tutto analoghe ai postulati della congruenza sul piano.

Cerchiamo di generalizzare questo esempio. Affinchè una superficie convenientemente limitata possa muoversi, con flessione senza estensione, su se stessa come la superficie piana, occorre che un certo numero [K], invariante rispetto alle predette flessioni, abbia un valore costante in tutti i punti della superficie. Questo numero è stato introdotto da Gauss col nome di curvatura1.

  1. Rammentando che la curvatura d'una linea piana in un punto è l'inverso del raggio del cerchio osculatore in quel punto, ecco come può definirsi la curvatura in un punto M d'una superficie.