Pagina:Bonola - La geometria non-euclidea.djvu/134

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è uguale a due retti. La proprietà corrispondente non è generalmente vera sulla superficie.

Infatti Gauss dimostrò che sopra una superficie a curvatura K, costante oppure variabile da punto a punto della superficie, l'integrale doppio


[vedi formula 126_a.png]

esteso alla superficie di un triangolo geodetico ABC, è uguale all'eccesso della somma dei suoi tre angoli su due angoli retti1. Cioè:

[vedi formula 126_b.png]


Applichiamo questa formula alle superficie di curvatura costante, distinguendo i tre casi possibili.


1° caso: K = o.


Allora avremo


[vedi formula 126_c.png]


Sulle superficie a curvatura nulla la somma degli angoli d'un triangolo geodetico è uguale a due angoli retti. Questo risultato del resto ci era noto.


2° caso: K = 1/k2 > o.


Allora avremo


[vedi formula 126_d.png]

  1. Cfr., ad es., le citate «Lezioni sulla Geometria Differenziale» di L. BIANCHI, Cap. VI.