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Concludendo, il postulato che attribuisce alla retta una lunghezza infinita, sott'inteso nelle ricerche dei precedenti geometri, non è per RIEMANN meno discutibile di quello delle parallele: ciò che RIEMANN ritiene indiscutibile è l'illimitazione dello spazio, proprietà compatibile tanto con l'ipotesi della retta infinita [aperta], quanto con quella della retta finita [chiusa].
La possibilità logica del sistema di RIEMANN si può desumere dall'interpretazione concreta ch'esso riceve mediante la geometria della stella di rette. Le proprietà della stella di rette si traducono facilmente in quelle del piano di RIEMANN e viceversa, con il sussidio del seguente dizionario: Stella Piano retta punto piano [fascio] retta angolo di due rette segmento angolo diedro angolo triedro triangolo .................... ...... ............................
Ecco, per es., la traduzione di alcune fra le più notevoli proposizioni della stella:
a) La somma dei tre diedri di un triedro è maggiore di due diedri retti.
b) Tutti i piani perpendicolari ad un altro piano passano per una retta.
c) Se ad ogni retta del piano facciamo corrispondere il punto in cui s'intersecano le rette perpendicolari alla retta data, si ottiene una corrispondenza fra rette e punti, che gode della seguente proprietà: i punti corrispondenti alle rette d'un fascio appartengono ad una retta, la quale, alla sua volta, ha per punto corrispondente il centro del fascio.
La corrispondenza così definita prende il nome di polarità assoluta [ortogonale] della stella.
a) La somma dei tre angoli di un triangolo è maggiore di due angoli retti.
b) Tutte le rette perpendicolari ad un'altra retta passano per un punto.
c) Se ad ogni piano della stella facciamo corrispondere la retta in cui s'intersecano i piani perpendicolari al piano dato si ottiene una corrispondenza fra piani e rette, che gode della seguente proprietà: le rette corrispondenti ai piani di un fascio appartengono ad un piano, il quale, alla sua volta, ha per retta corrispondente l'asse del fascio.
La corrispondenza così definita prende il nome di polarità assoluta del piano.
