Pagina:Bonola - La geometria non-euclidea.djvu/144

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Lobacefski}} e di RIEMANN si può domandare se un tale riscontro possa aver luogo per una qualche superficie particolare.

A questa domanda si risponde così

1°) Non esiste alcuna superficie regolare1, analitica, su cui valga nella sua integrità la geometria di Lobacefski-Bolyai [Teorema di HILBERT2].

2°) Una superficie su cui valesse nella sua integrità la geometria del piano di Riemann dovrebbe essere necessariamente chiusa.

  1. Cioè priva di singolarità.
  2. «Über Flächen von konstanter Gausscher Krümmung.», Transactions of the American Math. Society, t. II, p. 86-99 [1901]; «Grundlagen der Geometrie.», 2a ediz., p. 162-75 [Leipzig, Teubner, 1903]. La questione risolta col teorema di HILBERT si affacciò ai geometri in seguito all'interpretazione di BELTRAMI della geometria di Lobacefski-Bolyai. — HELMHOLTZ, fin dal 1870, nel suo articolo «Les axiomes de la géométrie.» [Revue des cours scientif., t. VII, p. 499] aveva affermato l'impossibilità di costruire una superficie pseudosferica, estesa indefinitamente in ogni direzione, e A. GENOCCHI, nella «Lettre à Mr. Quetelet sur diverses questions mathématiques.» [Belgique Bull., (2), t. XXXVI, p. 181-98, 1873] e più distesamente nello scritto: «Sur un Mémoire de D. Foncenex et sur les géométries non-euclidiennes.» [Torino, Memorie, (3), t. XXIX, 365-404, 1877], dopo aver rilevato l'insufficienza di certi ragionamenti intuitivi, diretti a provare l'esistenza concreta d'una superficie atta a rappresentare l'intero piano non-euclideo, insiste sulla probabile esistenza di punti singolari, [come, ad es., quelli situati sulla linea di regresso della fig. 47], in ogni modello concreto di superficie a curvatura costante negativa. Sul teorema di HILBERT aggiungiamo che il carattere analitico della superficie, ammesso dall'autore, fu dimostrato superfluo. Vedi in proposito la dissertazione di G. LÜTKEMEYER: «Uber den analytischen Charakter der Integrale von partiellen Differential-gleichungen.», [Göttingen 1902] e la nota di E. HOLMGREN: «Sur les surfaces à courbure constante negative.», Comptes Rendus, I° sem. 1902, p. 840-43.