Pagina:Bonola - La geometria non-euclidea.djvu/212

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L'area della quadrica sarà allora:


sigma dx . dy .sen teta = sen teta . sigma dx . sigma dy.


Ma entrambe le sommatorie: sigma dx, sigma dy rappresentano la lunghezza l della retta, per cui l'area delta della superficie di CLIFFORD acquista la semplicissima espressione:


delta = l2 . sen teta, identica a quella che esprime l'area d'un parallelogramma euclideo [CLIFFORD1].



CENNI SUL PROBLEMA DI CLIFFORD -KLEIN.


§ 9. Le idee di CLIFFORD, illustrate nei precedenti §§, condussero KLEIN a un nuovo modo di formulare il problema fondamentale della geometria. Volendo dare un rapido cenno delle vedute di KLEIN riferiamoci ai risultati del § 68, relativi alla possibilità di interpretare la geometria piana con quella delle superficie di curvatura costante. Il raffronto fra le proprietà dei piani euclideo e non-euclidei e quelle delle superficie in discorso fu allora ristretto a regioni convenientemente limitate: allargando il confronto alle forme complete si incontreranno in generale delle differenze, imputabili talvolta alla presenza di punti singolari delle superficie [es. vertice di un cono], tal'altra alla connessione di esse.

Prescindiamo dai punti singolari e come esempio di superficie a curvatura costante, ovunque regolare, dotata di

  1. «Preliminary Sketch....», citato a nota 177. — Le proprietà della quadrica in discorso, rapidamente accennate da CLIFFORD nel 1873, trovarono un maggiore sviluppo nello scritto di KLEIN: «Zur Nicht-Euklidischen Geometrie.» [Math. Ann. t. XXXVII, p. 544-72, 1890].