Pagina:Bonola - La geometria non-euclidea.djvu/31

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la proposizione è immediata; altrimenti si prenda un multiplo di AD maggiore di AM [post. Archimede] e sui raggi AD...., BC... i due segmenti AP, BQ uguali a questo multiplo. Per quanto si disse sopra nel quadrilatero ABQP vale l' ip. ang. retto, e conseguentemente la stessa ipotesi vale ancora nel quadrilatero ABNM.

Finalmente l'ipotesi in discorso vale per un quadrilatero di base qualunque, poichè, nella fig. 10, può assumersi per base uno dei lati perpendicolari ad AB.

OSSERVAZIONE. Questo teorema di SACCHERI è sostanzialmente contenuto in quello di GIORDANO VITALE, riportato a pag. 14(27). Infatti, riferendoci alla fig. 7, l'ipotesi:

DA = HK = CB,


è equivalente all'altra:

D = H = C = 1 retto.


Ma dalla prima discende l'equidistanza delle due rette DC, AB, 1 quindi la validità dell' ip. ang. retto in tutti i quadrilateri birettangoli isosceli di altezza uguale al segmento DA. La stessa ipotesi vale poi anche in un quadrilatero di altezza qualunque, perchè in esso può invertirsi l'ufficio dei due segmenti base ed altezza.

Se in un solo caso è vera l'ipotesi dell'angolo ottuso, essa è vera, in ogni altro caso. [prop. VI].

Riferiamoci al solito quadrilatero ABCD, supponendo che gli angoli C, D siano ottusi. Presi su AD e BC i punti H, K, equidistanti da AB, si osservi in primo luogo che il segmento HK non può essere perpendicolare ai due lati

  1. Veramente GIORDANO, nel suo ragionamento, si riferisce esplicitamente ai punti del segmento DC, che dimostra equidistanti dalla base AB del quadrilatero. Però lo stesso ragionamento è applicabile a tutti i punti della retta DC. — Cfr. la nota di R. BONOLA, citata a pag. 14.