Pagina:Bonola - La geometria non-euclidea.djvu/39

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rispettivamente l'ipotesi dell'angolo retto, dell'angolo ottuso, dell'angolo acuto essa è vera in ogni altro caso; sono dimostrati indipendentemente dal postulato di Archimede.

Volendo ora passare dai teoremi sui quadrilateri ai teoremi sui triangoli, enunciati sul principio di questo paragrafo, possiamo senz'altro riferirci ai ragionamenti di SACCHERI [cfr. p. 25], poichè quei ragionamenti non dipendono affatto dal postulato in discorso. Con ciò è ottenuto il risultato che ci eravamo proposto.

§ 15. Per rendere più breve l'esposizione dell'opera saccheriana, stacchiamo dalle prop. XI, XII il contenuto del seguente 2° lemma.

Sia ABC un triangolo rettangolo in C, siano H il punto di mezzo di AB, e K il piede della perpendicolare calata da H su AC.

Allora avremo:

AK = KC, nell' ip. ang. retto; AK < KC, nell' ip. ang. ottuso; AK > KC, nell' ip. ang. acuto.

La parte che riguarda l' ip. ang. retto è immediata. Nell' ip. ang. ottuso, essendo la somma degli angoli d'un quadrilatero maggiore di quattro angoli retti, sarà: AHK < HBC. Calata poi da H la HL, perpendicolare a BC, i due triangoli AHK, HBL, con le ipotenuse uguali, in forza della precedente relazione danno luogo alla seguente disuguaglianza: AK < HL. Ma nel quadrilatero trirettangolo HKCL l'angolo H è ottuso [ip. ang. ottuso], per cui sarà: HL < KC, quindi: AK < KC.

Nello stesso modo si dimostra la terza parte del lemma.