Pagina:Bonola - La geometria non-euclidea.djvu/70

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quali sarebbero parallele a BN soltanto con l'antica definizione.

Nella definizione gaussiana il punto A sembra avere un ufficio speciale, ond'è necessario stabilire che la parallela AM è indipendente da A. Perciò Gauss dimostra che se A' è un punto qualunque di AM, la retta AM è parallela a BN anche attraverso il punto A'.

Dalla definizione di parallela non risulta poi evidente la reciprocità del parallelismo, vale a dire, che anche BN è parallela ad AM. Questa proprietà forma oggetto di un’altra elegante dimostrazione di Gauss.

Infine egli dimostra che due rette parallele ad una terza sono parallele fra loro [transitività del parallelismo].

Qui bisogna osservare che Gauss si riferisce implicitamente al parallelismo in un dato verso. Infatti, la sua definizione di parallela considera i raggi uscenti da A e da una determinata banda della trasversale AB, ad es. a destra, cosicchè la retta AM dovrebbe dirsi la parallela a BN verso destra. La parallela a BN verso sinistra non è necessariamente AM, perchè il supporre ciò equivarrebbe a fare una ipotesi equivalente al postulato euclideo.

Ritornando alla proposizione sopra enunciata è chiaro che le due rette parallele ad una terza debbono supporsi parallele in uno stesso verso.

Finalmente Gauss pone il concetto di punti corrispondenti su due parallele AA', BB'. I punti A e B sono corrispondenti quando la retta AB forma con le due parallele angoli interni da una stessa parte uguali [Fig. 33].