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Di questa notevole proprietà e di un'altra relativa agli oricicli coassiali [cerchi concentrici di raggio infinito] Lobacefski si giova per dedurre le formule della nuova trigonometria piana e della trigonometria sferica. Queste ultime coincidono con le ordinarie formule della sfera, quando però gli elementi del triangolo siano misurati in angoli retti.
§ 41. Giova notare la forma data da Lobacefski alle sue formule. Se nel triangolo piano ABC denotiamo con a, b, c i lati opposti ad A, B, C; con pi greco (a), pi greco (b), pi greco (c) gli angoli di parallelismo corrispondenti ai lati, la formula fondamentale di Lobacefski è:
(4) [vedi formula 79.png]
È facile vedere che questa formula e quella di Taurinus [(1), §. 36] sono trasformabili l'una nell'altra.
Per passare da quella di Taurinus a quella di Lobacefski basta far uso della (3) di §. 37, osservando però che l'angolo beta che in essa compare è pi graco (a). Per il passaggio inverso serve anche la seguente relazione, data da Lobacefski:
(5) [vedi formula 79_b.png] che è la stessa (3) di Taurinus, sotto forma un po' diversa.
La costante a che figura nella (5) è indeterminata: rappresenta il rapporto costante di due archi di oricicli coassiali, 
compresi fra i medesimi raggi, distanti l'uno dall'altro dell'unità di misura. Scegliendo, con Lobacefski, una
