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Codifica numerica del segnale audio

Se μ_x e R_x indicano la media e la covarianza del vettore x, allora le quantità corrispondenti per il vettore trasformato y sono date da

$\mu _{y}=E[y]=E[A\ x]=A\ E[x]=A\ \mu _{x}$

$R_{y}=E\left[(y-\mu _{y})(y-\mu _{y})^{T}\right]=A\left\{E\left[(x-\mu _{x})(x-\mu _{x})^{T}\right]\right\}A^{T}=A\ R_{x}\ A^{T}$

(7.38)

La varianza dei coefficienti è data dagli elementi della diagonale di R_y, cioè

$\sigma _{y}^{2}\left[R_{y}\right]_{k,k}=\left[A\ R_{x}\ A^{T}\right]_{k,k}$

(7.39)

Dato che A è unitaria

${\begin{cases}\sum _{k=0}^{N-1}|\mu (k)|^{2}=\mu _{y}^{T}\mu _{y}=\mu _{x}^{T}\ A^{T}\ A\mu _{x}=\sum _{n=0}^{N-1}|\mu _{x}(n)|^{2}\\\sum _{k=0}^{N-1}\sigma _{y}^{2}(k)=Tr\left[A\ R_{x}\ A^{T}\right]=Tr[R_{x}]=\sum _{n=0}^{N-1}|\sigma _{x}^{2}(n)|^{2}\end{cases}}$

$\sum _{k=0}^{N-1}E\left[|y(k)|^{2}\right]=\sum _{n=0}^{N-1}E\left[|x(n)|^{2}\right]$

(7.40)

Se si considera come matrice di trasformazione l’automatrice Φ della matrice di autocovarianza R

${\begin{cases}X=\Phi ^{T}x\\x=\Phi X\end{cases}}$

(7.41)

si ottiene la trasformata di Karhunen-Loeve (KLT). Per gli elementi X della sequenza trasformata, risulta

$E\left[X\ X^{T}\right]=\Phi ^{T}E\left[X\ X^{T}\right]\Phi =\Phi ^{T}\ R\ \Phi =\Lambda$

$E\left[X(k)\ X(l)^{*}\right]=\lambda _{k}\delta (k-l)$

(7.42)