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7 - Codifica nel dominio della frequenza

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Questo errore è massimo se a_j corrisponde al maggiore autovalore di R. Per massimizzare l’errore per qualsiasi valore di D, è necessario ordinare gli autovalori in ordine decrescente

$\lambda _{0}\geq \lambda _{1}\geq \ldots \geq \lambda _{N-1}$

(7.54)

Le righe di A sono quindi gli autovettori di R e, quindi, la trasformazione A porta di nuovo alla KLT. L’MSE dovuto al troncamento è dato da

${\hat {\epsilon }}_{D}=\sum _{i_{D}}^{N-1}\lambda _{i}$

(7.55)

Una conseguenza importante di questa proprietà è che la KLT, tra tutte le trasformazioni unitarie, riesce più di altre a concentrare la maggior parte dell’energia in un numero D ≤ N di coefficienti. Infatti, se si considera la serie ordinata delle varianze dei coefficienti ottenuti da una trasformazione A

$\sigma _{k}^{2}=E\left[|X(k)|^{2}\right],\ \sigma _{0}^{2}\geq \ldots \geq \sigma _{k}^{2}\geq \ldots \geq \sigma _{N-1}^{2}$

(7.54)

e se ne considera una loro somma parziale

$S_{m}(A)=\sum _{k=0}^{m-1}\sigma _{k}^{2},\ m\in [1,N]$

(7.57)

risulta

$S_{B}(A)=\sum _{k=0}^{D-1}(ARA^{T})_{k,k}=Tr(I_{D}A^{T}R\ A)={\hat {\epsilon }}_{D}$

(7.58)

che essere massimizzato quando A è la trasformata KL. Poiché σ_k² = λ² quando A =Φ^T, si ha

$\sum _{k=0}^{D-1}\lambda _{k}\geq \sum _{k=0}^{D-1}\sigma _{k}^{2},\ 1\leq D\leq N$

(7.59)