Pagina:Codifica numerica del segnale audio.djvu/309

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7 - Codifica nel dominio della frequenza 291

Questo errore è massimo se aj corrisponde al maggiore autovalore di R. Per massimizzare l’errore per qualsiasi valore di D, è necessario ordinare gli autovalori in ordine decrescente

  (7.54)

Le righe di A sono quindi gli autovettori di R e, quindi, la trasformazione A porta di nuovo alla KLT. L’MSE dovuto al troncamento è dato da

  (7.55)

Una conseguenza importante di questa proprietà è che la KLT, tra tutte le trasformazioni unitarie, riesce più di altre a concentrare la maggior parte dell’energia in un numero D ≤ N di coefficienti. Infatti, se si considera la serie ordinata delle varianze dei coefficienti ottenuti da una trasformazione A

  (7.54)

e se ne considera una loro somma parziale

  (7.57)

risulta

  (7.58)

che essere massimizzato quando A è la trasformata KL. Poiché σk2 = λ2 quando A =ΦT, si ha

  (7.59)