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A - Processi auto regressivi

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$H(\omega )=\sum _{n=-\infty }{\infty }h(n)\ e^{-j\omega n}=H(z)|_{z=e^{j\omega }}$

$H(\omega )=b_{0}e^{j\omega (N-M)}{\frac {\prod _{k=1}^{M}\left(e^{j\omega }-z_{k}\right)}{\prod _{k=1}^{N}\left(e^{j\omega }-p_{k}\right)}}$

(A.24)

Interpretando i termini nelle produttorie, e^jω rappresenta il vettore uscente dall'origine con vertice sulla circonferenza unitaria nel punto di pulsazione CO, mentre z_k e p_k rappresentano i vettori che congiungono l’origine con gli zeri ed i poli (fig. A.l). I termini tra parentesi tonde, quindi, sono i vettori congiungenti i poli e gli zeri con la circonferenza, che in forma polare sono esprimibili come

${\begin{cases}e^{j\omega }-z_{k}=V_{k}(\omega )e^{j\Theta _{k}(\omega )}\\e^{j\omega }-p_{k}=U_{k}(\omega )e^{j\Phi _{k}(\omega )}\end{cases}}$

(A.25)

con

${\begin{cases}V_{k}(\omega )=|e^{j\omega }-z_{k}|;\Theta _{k}(\omega )=\angle \left(e^{j\omega }-z_{k}\right)\\U_{k}(\omega )=|e^{j\omega }-p_{k}|;\Phi _{k}(\omega )=\angle \left(e^{j\omega }-p_{k}\right)\end{cases}}$

(A.26)

Noti i moduli V_k e U_k dei vettori congiungenti i poli e gli zeri con la circonferenza unitaria e le loro rotazioni Θ_k e Φ_k, il modulo della funzione di trasferimento si ottiene come prodotto dei moduli

$|H(\omega )|=|b_{0}|{\frac {\prod _{k=1}^{M}V_{k}(\omega )}{\prod _{k=1}^{N}U_{k}(\omega )}}$

(A.27)

Analizzando il contributo dei singoli poli e zeri, si vede che il modulo della funzione di trasferimento si riduce per valori di © corrispondenti a punti della circonferenza unitaria prossimi ad uno zero, in quanto si riduce il relativo termine V_k. Per quanto riguarda i poli, invece, la riduzione del temine U_k si