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Codifica numerica del segnale audio

Utilizzando filtri passa banda complessi la struttura cambia, con le modulazioni che diventano l’ultima operazione nell’analisi e la prima della sintesi ed ottenendo

$X_{k}(m)=e^{-jmM\omega _{k}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left[h(mM-n)e^{j(mM-n)\omega _{k}}\right]x(n)$

$x(n)={\frac {1}{K}}\sum _{k=0}^{K-1}\left\{\sum _{m=-\infty }^{\infty }\left[X_{k}(m)e^{jmM\omega _{k}}\right]\left[f(n-mM)e^{j(n-mM)\omega _{k}}\right]\right\}$

(D.26)

Nel caso di K bande uniformi, quindi, le funzioni di trasferimento di ciascun filtro passa banda sono derivate per traslazione di un unica funzione prototipo passa basso H(ffl), in modo tale che per la banda k-esima si abbia

${\begin{cases}H_{k}(\omega )=H_{k}(\omega -\omega _{k})\\h_{k}(n)=h(n)\cdot e^{jn\omega _{k}}\\\omega _{k}={\frac {2k\pi }{K}}\end{cases}}$

(D.27)

Un miglioramento dal punto di vista dell’efficienza computazionale si ha utilizzando filtri polifase (fig. D7). In tal caso, la risposta impulsiva del ramo di ordine p per la banda k-esima ed il suo ingresso sono pari a

${\begin{cases}P_{\rho ,k}(m)=h_{k}(mM-\rho )\\x_{\rho }(m)=x(mM-\rho )\end{cases}};\ \rho =,\ldots ,K-l$

(D.28)

Secondo tale impostazione sembrerebbe che i filtri polifase da utilizzare sarebbero in numero pari al prodotto del numero di sottobande per il fattore di decimazione. Fortunatamente, però, sfrattando la relazione

$h_{k}(n)=h(n)\cdot e^{jn{\frac {2k\pi }{K}}}=h(n)\cdot e^{jn{\frac {2k\pi }{M}}}$

(D.29)

si ricava

$p_{\rho ,k}(m)=h(mM-\rho )\cdot e^{j(mM-\rho ){\frac {2k\pi }{M}}}=h(mM-\rho )\cdot e^{-j{\frac {2k\pi }{M}}}$

(D.30)