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Codifica numerica del segnale audio

Es.: data la serie x(n) = {0, 2,1,1}, la sua FFT è data da

$W_{4}^{0}=1;\ W_{4}^{1}=-j$

$x(00_{b})\to x_{0}+x_{2}=1\to X(0)=4$

$x(10_{b})\to x_{0}+x_{2}=-1\to X(1)=-1-j$

$x(01_{b})\to x_{1}+x_{3}=3\to X(2)=2$

$x(11_{b})\to x_{1}+x_{3}=1\to X(3)=1+j$

(E.18)

E.2 DCT COME APPROSSIMAZIONE DELLA KLT

Si consideri un processo stazionario di Markov del primo ordine, per il quale la matrice di auto-covarianza è

$[R]_{jk}=\rho ^{|1-k|}\ i,k=0,1,....N-1$

(E.19)

per 0 ≤ ρ ≤ 1, dove p ρ il coefficiente di correlazione. La soluzione per la matrice Φ degli autovettori nei caso discreto è

$[\Phi ]_{mn}=\Phi _{m}(n)={\sqrt {\frac {2}{N+\mu _{m}}}}sin\left\{w_{a}\left[(n+1)-{\frac {N+1}{2}}\right]+(m+1){\frac {\pi }{2}}\right\}$

(E.20)

dove $\mu _{m}={\frac {1-\rho ^{2}}{1-2cos(w_{m})+\rho ^{2}}}$ sono gli autovalori e w_m sono le radici reali m positive dell’equazione:

$tan(Nw)={\frac {(1-\rho ^{2})sin(w)}{cos(w_{m})-2\rho +\rho ^{2}cos(w)}}$

(E.21)

Considerando il coefficiente di correlazione ρ → 1, si ha tan(Nw) = 0, da cui deriva

$w_{k}={\frac {k\pi }{N}},\ k=0,1,\cdots ,N-1$

(E.22)