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| 376 | Codifica numerica del segnale audio |
Gli autovalori μm sono uguali a zero quando i wm sono diversi da zero. Per μm quando m = 0, l’espressione tende all’infinito. In conclusione, si ottiene che
| (E.23) |
![{\displaystyle \sum _{m=0}^{N-1}[A]_{mn}=\sum _{m=0}^{N-1}\mu _{m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/085e423e94fb6de564014d8a58109d307836060c)
e, poiché gli elementi diagonali di [A] in un processo di Markov del primo ordine sono tutti unitari, abbiamo immediatamente che Po = N. Sostituendo si ottiene
| (E.24) |
![{\displaystyle {\begin{cases}[\varnothing ]_{n\ 0}={\frac {1}{\sqrt {N}}}\\\left[\varnothing \right]_{n\ m}={\sqrt {\frac {2}{N}}}sin\left[m\left(n+{\frac {1}{2}}\right){\frac {\pi }{N}}+{\frac {\pi }{2}}\right]\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6619ed1389698cc62cfcec4df88783e686b4dc8b)
La seconda equazione può essere riscritta come
![{\displaystyle [\varnothing ]_{n\ m}={\sqrt {\frac {2}{N}}}cos\left[m\left(n+{\frac {1}{2}}\right){\frac {\pi }{N}}\right],\ m\neq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4350bf71beb063f92410b170ae2293a83a75d0ae)
![{\displaystyle ={\sqrt {\frac {2}{N}}}k_{m}cos\left[m\left(n+{\frac {1}{2}}\right){\frac {\pi }{N}}\right],\ m,n=0,1,\ldots .N-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b3ac9785ef9dd9b32301cb43efe0406bdf6f308)
| (E.25) |
Questa equazione è la definizione della DCT. Quindi la DCT è asintoticamente equivalente alla KLT per processi Markoviani del 1° ordine quando ρ — > 1. Si noti che ciò è indipendente da N e che l’unico autovalore diverso da zero è μ0, pari ad N. In termini di MSE, l’errore è compattato in un singolo autovalore.
La ragione è che R-1 è una matrice simmetrica tri-diagonale, che per uno scalare β2 = (1 - ρ2 ) / (1 + ρ2) ed α = ρ/(l + ρ2) soddisfa la relazione
