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facevano appunto come M. Vincent ha osservato essere fatto di Euclide e di Erone. E bene potrebbe anche quella duodecima soluzione essere desunta dallo scritto di Gerberto. Eccole per intero ed a riscontro.

MS. PARIGINO Fol. 36 v. Est etiam alia altitudinis metiendae ratio qua cum umbra ipsius attitudinis ipsa altitudo mensuratur. Quam tametsi ita notam putamus ut expositione carere estimemus, tamen aliquid inde dicendum est. In altitudinis umbrae summitate alicujus mensurae virga ponatur; et virgae umbra sibi comparetur. Et quali comparatione virgae umbra confertur ad virgam, tali altitudinis umbra ad altitudinem. Quod ut planius sit, ejus figura demonstrat.

GERBERTI CAP. XXIV. Quaecumque res posita fuerit sub divo, umbram emittit, sed non sibi semper aequalem. Quapropter umbrae ipsius quotam partem volueris, eligas. Deinde virgulam coaequalem huic parti in terra statuas, et umbram exinde cadentem seu per pedes, seu per palmos, seu per uncias dividas. Si major inventa fuerit umbra quam virgula, quantam umbra virgulam superat, tantum a singulis, quarum mensuram virgula habet, subtrahas. Si autem minor est umbra, quantum virga superat, tantum praedictis partibus adjicias. Quidquid autem in umbra vel augmentatione creverit, vel subtractione remanserit, pro mensura illius rei habeto.

In tutte le altre soluzioni e nelle figure ad esse unite havvi non solo simiglianza, ma identità; nè altra differenza vi si trova se non che sono in un Ms. disegnate verso la destra del lettore, le figure che nell’altro si presentano volte alla sinistra: del resto non son nemmeno diverse le lettere appostevi.