Pagina:Elementi.djvu/61

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DI EVCLIDE

a duoi angoli retti per la .13. propositione, & perche l’angolo ,b,g,h, e minor del ditto angolo ,c,h,g, ponendolo con lo angolo, d,h,g, in suma serano minori de duoi angoli retti , adonquese le dette due linee, a,b, &, c,d, seranno protratte dalla parte del ,b,d, concorreranno ad alcuno ponto (per la quarta petitione) come seria al ponto ,k, adonque non seriano equidistante (per la uigesima seconda diffinitione) che è contra il proposito, & perche questo è impossibile, seranno adonque li detti dui angoli ,b,g,h, & ,c,h,g, coalterni equali che è il primo proposito, & da questo si manifesta anchora il secondo; perche l’angolo ,b,g,h, si è equale all’angolo ,a,g,e (per la quintadecima) adonque (per la prima concettione) l’angolo ,a,g,e, serà etiam equale all’angolo ,c,h,g, cioe lo estrinsico serà equale allo intrinsico a se opposito ,ch’è il secondo proposito, dal qual similmente si manifesta il terzo, perche li dui angoli ,a,g,e, & ,c,h,g, sono equali, dandoli communemente l’angolo .a.g.h. la suma serà anchora equale, dilche li dui angoli .c.h.g. & .a.g.h. sono equali alli duoi angoli .a.g.h. & .a.g.e. & perche li dui angoli .a.g.e. & .a.g.h. (per la .13.) sono equali a dui angoli retti, adonque li dui angoli ,a,g,h, & ,c,h,g, seranno equali a dui angoli retti, che sono li duoi angoli intrinsici tolti dalla medesima parte uerso ,c,a, che è el terzo proposito.


Theorema.21. Propositione.30.

30|30 Se due linee rette seranno equidistante a una medema linea, quelle medesime seranno fra loro equidistante.

Euclid030v.png

Siano le due linee .a.b. & .c.d. delle quale l’una & l’altra siano equidistante dalla linea .e.f. Dico che queste due linee, cioe la ,a.b. & .c.d. fono fra loro equidistante. Et questo è uero uniuersalmente, o siano le dette linee, a.b. & .c.d. in una medema fuperficie con la medesima linea .e.f. oueramente non (tamen in questo loco non se intende altramente, se non secondo che tutte siano in una superficie, & di quelle che sono in diuerse superficie si approua nella nona propositione del .II. che sono equidistante) hor adonque siano tutte tre in una superficie io tirarò la linea .g.h. segando le dette tre linee nelli tre ponti .k.l.m. & perche la .a.b. è equidistante alla .e.f. l’angolo.a.k.l. si è equale all’angolo .k.l.f. (per la prima parte della precedente perche sono coalterni) e perche la .c.d. è etiam equidistante alla .e.f. l’angolo .f.l.k. (estrinsico) serà equale all’angolo .l.m.d. (intrinseco a se opposito, per la seconda parte della precedente) dilche se li duoi angoli .l.m.d. & .a.k.l. ciascun è equale all’angolo .k.l.f. (per la prima concettione) seranno etiam fra loro equali, per laqual cosa se l’angolo .a.k.l. è equal all’angolo .l.m.d. le dette due linee .a.b. & .c.d. sono equidistante (per la uigesimasettima propositione) perche li detti dui angoli sono coalterni, ch’è el proposito.


Problema.10. Propositione.31.

31|31 Da uno ponto dato fora di una proposta retta linea potemo condurre una linea retta equidistante a quella linea proposta.