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i problemi della logica 95

applicazione, come nei più lontani ed astratti, ad es. nella Geometria degli spazii a più dimensioni o non-euclidci o non~archimedei, ecc.; e queste astratte teorie hanno per loro stesse un’esistenza analitica (come edifizii logici), se pure non esiste un oggetto reale a cui si riferiscono.

Ma vi è di più. Seguendo Pluecker si è introdotta nella Geometria una veduta estremamente feconda, che porge un principio di trasformazione delle teorie, basato appunto sul loro valore formale.

Si consideri una teoria geometrica come un sistema di rapporti logici, intercedenti fra certi concetti designati dalle parole «punto» «linea», ecc. Si può lasciare alle parole un significato astratto indeterminato, riguardandole dunque come simboli di concetti ignoti, ma soddisfacenti formalmente alle proposizioni fondamentali che esprimono i rapporti geometrici. Allora è lecito di fissare a piacere, con una convenzione, il significato dei simboli, in guisa però da soddisfare alle anzidette condizioni normali; si ottengono così infinite possibili interpretazioni concrete della teoria geometrica astratta.

Non è qui il luogo per accennare alle conseguenze matematiche di questo fecondo principio; diremo soltanto che esso ha sviluppato negli spiriti critici il sentimento della Logica formale e ha fornito la più concludente dimostrazione a posteriori della sua possibilità.

Tale sentimento si ritrova, nettamente esplicalo, nelle più recenti sistemazioni rigorose dei principii della Geometria (Pasch, Peano, Veronese, Enriques, Hilbert....), di cui M. Pasch sembra avere porto il primo modello nelle sue «Vorlesungen ueber neuere Geometrie (1882)»1.

Ma dalla critica geometrica sopra accennata, ed in particolare dal confronto delle trattazioni suddette, risulta non soltanto dimostrata la possibilità di una Logica formale, bensì anche definito precisamente il senso in cui l’aspetto formale della Logica deve essere inteso.

Si tratta perciò di riconoscere (e ciò può farsi anche all’Infuori di ogni particolare espressione grammaticale o simbolica) i requisiti che da esse si osservano nella forma delle definizioni e dei postulati, ed in qual modo venga inteso un assetto rigorosamente logico di una teoria, o per contrapposto quali modi di trattazione vengano tenuti come non rigorosi.


§ 5. Critica della definizione.

L’idea di desumere lo studio della Logica dallo sviluppo delle Matematiche, ed in ispecie della Geometria, è tutt’altro che moderna.

Infatti già Aristotele prese come base della sua costruzione la Geometria e la Retorica.

  1. Vedasi l’articolo di F. Enriques: «Prinzipien der Geometrie» nella «Enciclopedie der mathematische Wissenschaft», edita da Teubner, Lipsia.