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capitolo iv

2) Postulato di Dedekind. Se una linea è divisa in due parti (classi di punti) per modo che:

a) ogni punto della linea appartenga all’una o all’altra;

b) ogni punto della prima parte preceda (in uno dei due ordini della linea) ogni punto dell’altra,

allora esiste un punto di divisione, cui non segue alcun punto della prima parte nè precede alcun punto della seconda.

Fermiamo la nostra attenzione sul primo postulato.

È chiaro anzitutto che esso non può esprimere una proprietà contingente di alcuna serie puntuale empiricamente data; anzi è stato già rilevato che nello spazio fisiologico questa proprietà della linea è contraddetta dalla esperienza.

Allorchè due punti A, B di una linea distano fra loro per meno del doppio della soglia di sensazione, riesce impossibile intercalare fra di essi un punto, sensibilmente distinto dai due dati. Tuttavia in molti modi sussidiarli constatiamo d’ordinario che tale impossibilità può esser tolta, ove ci si riferisca ad una parte più sensibile dell’organo tattile o alla vista, o con qualunque mezzo si affini il nostro potere di percezione.

Dappoichè varie immagini sensoriali si associano nella rappresentazione concettuale di una linea, dobbiamo spiegare la circostanza precedente ritenendo che un punto C, fra A e B, possa non essere distinto in una immagine sensoriale, per difetto di percezione. L’accoglienza di questa supposizione viene anche favorita dal fatto che la soglia delle sensazioni non ha una grandezza assolutamente fissa, che il movimento dell’oggetto sulla cute può diminuirla ecc.

L’estensione dell’esperienza c’induce dunque ad intravedere come possibile l’intercalazione di un punto fra due altri A, B, sopra un linea data, anche quando questa non riesca immediatamente palese al senso. Tuttavia questa estensione, nel fatto, ha sempre un limite che viene presto raggiunto. Se dunque il concetto della linea dovesse sorgere in noi dall’associare tutte le immagini sensoriali di una linea sola, fisicamente data, non saremmo mai condotti a postulare che l’intercalazione di un punto fra due dati possa proseguirsi indefinitamente.

Ma supponiamo associate in una sola classe di rappresentazioni tutte le possibili linee, e cerchiamo di determinare i caratteri del concetto astratto che ne deriva.

L’associazione fra due linee l, l’ pone idealmente una corrispondenza biunivoca fra i punti di esse; e l’esperimento ci suggerisce che una tale corrispondenza può ottenersi facendo corrispondere a due punti A, B (distinti) dell’una, due altri punti qualunque A’, B’ dell’altra; ciò risulta, p. es., dalla sovrapposizione di fili elastici diversamente tesi, dal riferimento mediante