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la meccanica 255


L’interesse di ricercare principii più restrittivi, corrispondenti al secondo caso, si collega alla veduta che «le forze e i legami non sieno elementi arbitrarii del fenomeno dinamico», ed in ispecie che i loro reciproci rapporti implichino una limitazione, la cui conoscenza diventi quindi necessaria per procedere più innanzi nella previsione concreta dei fatti.

Se, p. es., si ammetta di estendere la concezione astronomica newtoniana delle forze come «azioni dei punti materiali, esercitantisi secondo il principio dinamico d azione e reazione» (forze centrali), e se si riducano quindi i legami ai casi che possono risultare da tali forze (cfr. cap. VI), si verrà appunto ad introdurre una condizione restrittiva che permetterà di dedurre dal teorema di D’Alembert-Lagrange qualche principio determinante più espressivo.

Effettivamente l’ipotesi delle forze centrali conduce anzitutto a stabilire un resultato di grande importanza fisica, cioè il principio delle forze vive, dal quale risulta poi una più semplica determinazione del movimento.

Facciamo brevemente la storia di questo principio.

Per primo Huyghens, nello studio dei movimenti pendolari, ebbe ad osservare che «la variazione della somma delle forze vive dei punti di un sistema in moto è uguale ed opposta a quella dei lavori eseguiti dalle forze», e questo teorema si estende al caso generale cui si riferiscono le equazioni di Lagrange.

Ma vi è di più: la variazione della forza viva o del lavoro può venire spesso valutata senza conoscere le traiettorie percorse nel movimento, dipendentemente soltanto dalle configurazioni iniziale e finale del sistema. Il germe di questa osservazione trovasi in Galileo; questi notò che l’acquisto di forza viva di un grave cadente dipende soltanto dall’altezza verticale della caduta; Huyghens ed Eulero dettero all’osservazione di Galileo un significato più esteso.

Finalmente Daniele Bernouilli riconobbe che l’osservazione stessa ha un valore generale nell’ipotesi delle forze centrali. Infatti in tal caso le forze ammettono un potenziale, dipendente soltanto dalla configurazione del sistema, e «la variazione della forza viva del sistema in moto si misura in ogni istante da quella del potenziale».

Questo è appunto il principio delle forze vive, che (come vedremo nel cap. VI) prelude a quello della conservazione della energia.


Per i sistemi soggetti a forze che ammettono un potenziale, il principio delle forze vive permette di ridurre quelli di Gauss e Hamilton ad una espressione più semplice, la quale costituisce il cosidetto principio della minima azione.

Il movimento avviene in modo che la variazione del valore medio della forza viva del sistema in ogni intervallo di tempo risulta minima.