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teoria generale

nè minori delle aliquote simili di $B$ , altramente pel secondo assioma anche $A$ sarebbe maggiore, e respettivamente minore di $B$ , il che ripugna all'ipotesi; adunque le aliquote di $A$ sono eguali alle aliquote simili di $B$ .

Se $A$ è maggiore di $B$ , le aliquote di $A$ non possono essere eguali, o minori delle aliquote simili di $B$ , altramente anche $A$ sarebbe eguale, o rispettivamente minore di $B$ pel secondo assioma, il che rovescia la supposizione; adunque le aliquote di $A$ debbono essere maggiori delle aliquote simili di $B$ .

Finalmente, se $A$ è minore di $B$ , le aliquote di $A$ non possono essere eguali, o maggiori delle aliquote simili di $B$ , altramente pel secondo assioma anche $A$ sarebbe eguale, o respettivamente maggiore di $B$ , il che si oppone all'ipotesi; adunque le aliquote di $A$ sono minori delle aliquote simili di $B$ .

Definizione VI. — Due, o più grandezze omogenee si dicono tra loro commensurabili, quando qualche grandezza può essere aliquota comune di tutte.

E due, o più grandezze omogenee si dicono tra loro incommensurabili, quando niuna grandezza può essere aliquota comune di tutte.

Scolio. — Si dimostra in geometria darsi nella quantità continua grandezze tra loro incommensurabili.

Definizione VII. — Se la grandezza $A$ di paragona alla grandezza $B$ a se omogenea, cioè se $A$ si considera relativamente alla $B$ , la grandezza la $A$ , che è paragonata ala $B$ , chiamasi l'antecedente della comparazione, e la grandezza $B$ , cui la $A$ si paragona, dicesi il conseguente, e tanto l'antecedente $A$ , quanto il conseguente $B$ si chiamano i due termini della comparazione.

Scolio. — Se il conseguente $B$ si concepisce diviso in qualsivoglia numero d'aliquote, v. g. se $B=ny$ ( $n$ esprime qualsivoglia numero, e anche l'unità), egli è certo, che l'antecedente $A$ , o non contiene intieramente l'aliquota $y$ (il che avviene allorchè la $y$ è maggiore di $A$ ), o contiene un preciso numero delle aliquote $y$ con qualche resto minore di $y$ , ovvero contiene un preciso numero di aliquote $y$ senza resto; adunque sarà sempre $A=my+r$ , purchè $m$ denoti quante volte la $y$ è contenuta in $A$ (di modo che $m$ può significare anche l'unità, e lo sero) e purchè $r$ rappresenti il resto nullo, o reale, cioè rappresenti il resto, quando vi è il resto, e lo zero quando il resto non vi è.