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teoria generale

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seguente $B$ senza verun resto, o con un resto minore di essa, quante volte l'altro antecedente $C$ contiene l'aliquota simile del conseguente $D$, parimente senza verun resto, o con un resto minore di essa, questa egualità di contenenza, e corrispondenza continua di resti nulli, o reali, chiamasi da me egualità, ovvero similitudine di proporzioni; cioè, dico, che in tal caso la proporzione ${\frac {A}{B}}$ è uguale, ovvero simile alla proporzione ${\frac {C}{D}}$; oppure, che le quattro grandezze $A,B,C,D$ sono proporzionali; dico medesimamente, che la $A$ sta alla $B$, come $C$ sta alla $D$, o verso la $D$.

Scolio. — Questa definizione è di nome, per conseguenza non può contrastarsi; se poi a taluno paresse per avventura meno semplice, consideri, che essa è generale, e comprende in un solo uniforme, intelligibile e positivo concetto tanto l'eguaglianza di quelle proporzioni, che hanno gli antecedenti commensurabili ai loro conseguenti, quando l'eguaglianza di quell'altra sorta di proporzioni, che hanno gli antecedenti incommensurabili ai loro conseguenti.

Per altro la proprietà generale espressa in questa definizione è possibile; poichè non solamente senza veruna ripugnanza essa si concepisce; ma in geometria ne occorrono gli esempj, conforme può vedersi nei nuovi elementi di geometria de' signori di Porto-Reale, libro decimo, proposizione fondamentale, e corollario I, e II del primo teorema, e negli elementi di geometria del Padre Tacquet, e in altri autori, ec.

Definizione XI. — L'eguaglianza di due proporzioni dirassi ancora da me proporzionalità, e si esprimerà molte volte con le seguenti note, ${\frac {A}{B}}={\frac {C}{D}}$, ovvero $A.B::C.D$, oppure ${\frac {my+r}{ny}}={\frac {my_{0}+r_{0}}{ny_{0}}}$; rappresentando con $y$, e con $y_{0}$ qualunque aliquota simile de' rispettivi conseguenti $B$ e $D$, ed esprimento con $r$, e $r_{0}$ i resti (nulli, o reali) che spettano ai rispettivi antecedenti $A$, e $C$.

Definizione XII. — Il primo, e quarto termine d'una proporzionalità si chiamano gli estremi di essa, e il secondo, e terzo termine i suoi medj

Corolorraio V. — Acciò sussista questa proporzionalità $A.B::C.D,$ non è punto necessario, che i due ultimi suoi termini $C$, e $D$ sieno omogenei ai due primi $A$, e $B$, richiedendosi solamente, che $C$, e $D$ sieno