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teoria generale

II. E se si diminuisce l'antecedente, ovvero si aumenta il conseguente, la proporzione decresce:

III. Se poi ai aumenta l'antecedente, e nel tempo stesso si diminuisce il conseguente, vieppiù cresce la proporzione:

IV. E se si diminuisce l'antecedente, e nel medesimo tempo si aumenta il conseguente, vieppiù decresce la proporzione.

Corollario XXI. — Se le due proporzioni ${\frac {A}{B}},{\frac {C}{D}}$ sono eguali, e il conseguente dell'una è uguale al conseguente dell'altra, anche gli antecedenti daranno eguali; e se gli antecedenti sono eguali, vi sarà eguaglianza anche ne' conseguenti.

Imperocchè nella prima ipotesi di $B$ eguale a $D$ , se la $C$ non fosse eguale alla $A$ , sarebbe maggiore, o minore di essa d'una differenza, che si chiami $H$ , e sostituendo $B$ invece di $D$ sua eguale, ed $A\pm H$ in luogo della sua pretesa eguale $C$ , si avrebbe ${\frac {A}{B}}={\frac {A\pm H}{B}}$ ; ma pel corollario XVII ${\frac {A}{B}}$ è minore, ovvero maggiore di ${\frac {A\pm H}{B}}$ ; adunque due proporzioni sarebbero eguali insieme, e disuguali tra loro, il che non può essere pel corollario XV; adunque la $C$ non è maggiore nè minore della $A$ , e conseguentemente è ad essa eguale.

Nella seconda ipotesi di $A$ eguale a $C$ , chiamando parimente $H$ la differenza tra i conseguenti $B$ , e $D$ , quando si volessero spporre disuguali, e surrogando $B\pm H$ in cambio della sua pretesa eguale $D$ , come pur ponendo $A$ in vece della sua eguale $C$ , avrebbesi ${\frac {A}{B}}={\frac {A}{B\pm H}}$ , ma pel corollario IXI, ${\frac {A}{B}}$ è maggiore, ovvero minore di ${\frac {A}{B\pm H}}$ ; adunque due proporzioni sarebbero di nel nuovo eguali insieme, e disuguali tra loro, e non potendo ciò essere pel corollario XV, dee conchiudersi, che $B$ non è minore, nè maggiore di $D$ , e che per conseguenza gli + eguale.

Questo corollario comprende ambedue le parti della proposizione IX del V libro d'Euclide, mentre gli antecedenti, e i conseguenti che sono i medesimi, si considerano come grandezze eguali.

Assioma IV. — Un tutto, moltiplicato per qualsivoglia numero, è uguale a tutte le parti del medesimo tutto moltiplicate ad una ad una, e per lo stesso numero.