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${\frac {1}{4\pi }}\iiint \left[{\frac {1}{\mathrm {A} }}\left(\mathrm {N} {\frac {\partial \mathrm {X} }{\partial y}}-\mathrm {M} {\frac {\partial \mathrm {X} }{\partial z}}+\mathrm {L} {\frac {\partial \mathrm {Y} }{\partial z}}-\mathrm {N} {\frac {\partial \mathrm {Y} }{\partial x}}\right.\right.$

$\left.\left.+\mathrm {M} {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial x}}-\mathrm {L} {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial y}}\right)+\mu \left(\mathrm {L} {\frac {\partial \mathrm {L} }{\partial t}}+\mathrm {M} {\frac {\partial \mathrm {M} }{\partial t}}+\mathrm {N} {\frac {\partial \mathrm {N} }{\partial t}}\right)\right]\,dv=0.$

ossia:

${\frac {1}{4\pi \mathrm {A} }}\iiint \left[{\mathrm {L} }\left(\mathrm {A} \mu {\frac {\partial \mathrm {L} }{\partial t}}-{\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial y}}+{\frac {\partial \mathrm {Y} }{\partial z}}\right)+{\mathrm {M} }\left(\mathrm {A} \mu {\frac {\partial \mathrm {M} }{\partial t}}-{\frac {\partial \mathrm {X} }{\partial z}}+{\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial x}}\right)\right.$

$\left.+{\mathrm {N} }\left(\mathrm {A} \mu {\frac {\partial \mathrm {N} }{\partial t}}-{\frac {\partial \mathrm {Y} }{\partial x}}+{\frac {\partial \mathrm {X} }{\partial y}}\right)\right]\,dv=0.$

L’equazione si verifica se si ammette che sia:

[2]

${\begin{cases}\mathrm {A} \mu {\dfrac {\partial \mathrm {L} }{\partial t}}&=&{\dfrac {\partial \mathrm {Z} }{\partial y}}-{\dfrac {\partial \mathrm {Y} }{\partial z}},\\\mathrm {A} \mu {\dfrac {\partial \mathrm {M} }{\partial t}}&=&{\dfrac {\partial \mathrm {X} }{\partial z}}-{\dfrac {\partial \mathrm {Z} }{\partial x}},\\\mathrm {A} \mu {\dfrac {\partial \mathrm {N} }{\partial t}}&=&{\dfrac {\partial \mathrm {Y} }{\partial x}}-{\dfrac {\partial \mathrm {X} }{\partial y}};\end{cases}}$

e noi supporremo che sia così.

Le equazioni [2] § 4 e le [2] § 5 sono dovute ad Hertz¹.

§ 6.

Esiste per l’energia di un campo elettromagnetico un’equazione analoga a quelle che vanno sotto il nome di principio di Hamilton e principio della minima azione nella dinamica ordinaria: si può dimostrare cioè la relazione

$\delta \textstyle \int _{t_{0}}^{t_{1}}\mathrm {W_{em}} \,dt=0,$

quando si suppongano nulle le variazioni ai limiti.

Per vedere questo si scriva:

[1]	$x_{1}=\mathrm {A} \varepsilon {\frac {\partial \mathrm {X} }{\partial t}}-{\frac {\partial \mathrm {M} }{\partial z}}+{\frac {\partial \mathrm {N} }{\partial y}}$	$l_{1}=\mathrm {A} \mu {\dfrac {\partial \mathrm {L} }{\partial t}}-{\dfrac {\partial \mathrm {Z} }{\partial y}}+{\dfrac {\partial \mathrm {Y} }{\partial z}}$
	$x_{2}=\mathrm {A} \varepsilon {\frac {\partial \mathrm {Y} }{\partial t}}-{\frac {\partial \mathrm {N} }{\partial x}}+{\frac {\partial \mathrm {L} }{\partial z}}$	$l_{2}=\mathrm {A} \mu {\dfrac {\partial \mathrm {M} }{\partial t}}-{\dfrac {\partial \mathrm {X} }{\partial y}}+{\dfrac {\partial \mathrm {Z} }{\partial x}}$
	$x_{3}=\mathrm {A} \varepsilon {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial t}}-{\frac {\partial \mathrm {L} }{\partial y}}+{\frac {\partial \mathrm {M} }{\partial x}}$	$l_{3}=\mathrm {A} \mu {\dfrac {\partial \mathrm {N} }{\partial t}}-{\dfrac {\partial \mathrm {Y} }{\partial x}}+{\dfrac {\partial \mathrm {X} }{\partial x}}$

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1. H. Hertz. Ueber die Beziehungen zwischen den Maxwellschen electrodynamischen Grundgleichungen und den Grundgleichungen der gegnerischen Elektrodynamik. (Wied. Ann. XXIII, p. 84).