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G. PEANO

Parallelamente a queste formule si hanno quelle di Gauss. L'analoga alla (β) è

(β')	$\left\{{\begin{array}{lcl}\int _{a}^{b}f(x)\,dx&=&{\frac {b-a}{2}}\left[\left({\frac {a+b}{2}}-{\frac {1}{\sqrt {3}}}{\frac {b-a}{2}}\right)\right.\\&&+\left.f\left({\frac {a+b}{2}}+{\frac {1}{\sqrt {3}}}{\frac {b-a}{2}}\right)\right]+R\end{array}}\right.$

ove

$R=-{\frac {\left(b-a\right)^{5}}{180.4!}}f^{IV}(u)$ ,

e il resto è nullo per le funzioni di grado non superiore al terzo.

Paragonando le formule (β) e (β'), che si possono considerare come egualmente approssimate, risulta che è più semplice, in generale, il calcolo dei tre valori $f\left(a\right)$, $f\left({\frac {a+b}{2}}\right)$, $f\left(b\right)$ che esige la formula (β), che il calcolo dei due

$f\left({\frac {a+b}{2}}-{\frac {1}{\sqrt {3}}}{\frac {b-a}{2}}\right)$, $f\left({\frac {a+b}{2}}+{\frac {1}{\sqrt {3}}}{\frac {b-a}{2}}\right)$

che esige la formola (β'). Questo spiega il maggior uso della formula (β) di Simpson sulla corrispondente (β') di Gauss.

Le formule di Gauss costituiscono una successione infinita, mentrechè le formule dei trapezii e di Simpson erano finora isolate. Io mi propongo di esporre qui una successione di infinite formule di quadrature, di cui le due prime sono appunto la (α) e la (β).

Per semplicità supporremo i limiti dell'integrale eguali a -1 e +1; poiché basta fare il cambiamento

$x={\frac {a+b}{2}}+{\frac {b-a}{2}}x'$,

onde ridurci a questo caso.

La questione che ci proponiamo è questa: Determinare gli