Pagina:Generalizzazione della formula di Simpson.djvu/9

GENERALIZZAZIONE DELLA FORMULA DI SIMPSON

7

si formi la funzione F(x), intera, di grado 2n - 1, che soddisfa alle 2n condizioni:

$F(x_{0})=f(x_{0}),F(x_{1})=f(x_{1}),F(x_{2})=f(x_{2}),$ ... $F(x_{n-1})=f(x_{n-1}),F(x_{n})=f(x_{n})$,$F'(x_{1})=f'(x_{1}),F'(x_{2})=f'(x_{2}),...F'(x_{n-1})=f'(x_{n-1}),$,

Si avrà, com'è noto:

(10)	$f(x)=F(x)+(x-x_{0})(x-x_{1})^{2}(x-x_{2})^{2}...(x-x_{n-1})^{2}(x-x_{n}){\frac {f^{(2n)}(u)}{(2n)!}}$

Integrando si avrà appunto $\int _{-1}^{+1}F(x)dx=\sum _{r}A_{r}f(x_{r})$, onde

(11)	$R=\int _{-1}^{+1}(x-x_{0})(x-x_{1})^{2}...(x-x_{n-1})^{2}(x-x_{n}){\frac {f^{(2n)}(u)}{(2n)!}}dx.$

Portando fuori del segno integrale il fattore ${\frac {f^{(2n)}(u)}{(2n)!}}$, cosa lecita, poiché il fattore rimanente ha un segno costante nell'intervallo di integrazione, si ha:

(12)	$R={\frac {f^{(2n)}(u)}{(2n)!}}\int _{-1}^{+1}(x-x_{0})(x-x_{1})^{2}...(x-x_{n-1})^{2}(x-x_{n})dx.$

Facendo n = 1, si ha la formula dei trapezii (α).
Per n = 2 si ha la formula di Simpson (β).
Per n = 3, fatti i calcoli, si ha:

$\int _{-1}^{+1}f(x)dx={\frac {1}{6}}f(-1)+{\frac {5}{6}}f\left(-{\sqrt {\frac {1}{5}}}\right)+{\frac {5}{6}}f\left({\sqrt {\frac {1}{5}}}\right)+{\frac {1}{6}}f(1)+R,$,

ove

$R=-{\frac {2^{5}}{3.5^{2}.7.6!}}f^{(6)}(u)$,

e il resto è nullo per le funzioni di grado inferiore al 6º.