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G. Fubini

che le (1) diventano per noi

3)	$\left\lbrace {\begin{array}{c}\xi _{1}=-BX_{2}-Cx_{3}-Dx_{4}\\\xi _{2}=BX_{1}+Cx_{4}-Dx_{3}\\\xi _{3}=-BX_{4}+Cx_{1}+Dx_{2}\\\xi _{4}=Bx_{3}-Cx_{2}+Dx_{1}.\end{array}}\right.$

Risolvendo, ricordando le $\sum x^{2}=\sum \xi ^{2}=1,\sum x\xi =0,$ si ha

4)	$\left\lbrace {\begin{array}{c}B=\xi _{2}x_{1}-x_{2}\xi _{1}+\xi _{4}x_{3}-x_{4}\xi _{3}\\C=\xi _{2}x_{4}-\xi _{4}x_{2}+\xi _{3}x_{1}-x_{3}\xi _{1}\\D=\xi _{3}x_{2}-\xi _{2}x_{3}+\xi _{4}x_{1}-x_{4}\xi _{1}\end{array}}\right.$

legate appunto dalla

5)	$D^{2}+B^{2}+C^{2}=1$

Analogamente si ha

3')	$\left\lbrace {\begin{array}{c}\xi _{1}=-\beta x_{2}-\gamma x_{3}-\delta x_{4}\\\xi _{2}=\beta x_{1}+\delta x_{3}-\gamma x_{4}\\\xi _{3}=\gamma x_{1}-\delta x_{2}+\beta x_{4}\\\xi _{4}=\delta x_{1}+\gamma x_{2}-\beta x_{3}\end{array}}\right.$

donde si ricava

4')	$\left\lbrace {\begin{array}{c}\beta =\xi _{3}x_{4}-\xi _{4}x_{3}+\xi _{2}x_{1}-\xi _{1}x_{2}\\\gamma =\xi _{4}x_{2}-\xi _{2}x_{4}+\xi _{3}x_{1}-\xi _{1}x_{3}\\\delta =\xi _{4}x_{1}-\xi _{1}x_{4}+\xi _{2}x_{3}-\xi _{3}x_{2}\end{array}}\right.$

con la

5')	$\beta ^{2}+\gamma ^{2}+\delta ^{2}=1$

Prese le (4) e le (4') come formule definenti le $B,C,D,\beta ,\gamma ,\delta$ le (3) e le (3') danno le coordinate $(\xi _{i})$ del piano normale nel punto $(x_{i})$ alla nostra retta, appena sia noto questo punto $(x_{i})$.