Pagina:Il parallelismo di Clifford negli spazii ellittici.djvu/29

Il parallelismo di Clifford negli spazii ellittici

23

e le analoghe per $\beta ,\gamma ,{\beta }^{\prime },{\gamma }^{\prime },\eta ,\zeta$ ecc. Però vi sarebbe l’ambiguità di segno nei secondi membri delle (14) proveniente dal fatto che nelle (13) comparisce solo $\frac{1}{{\rho }^2},\frac{1}{T^2}$ e noi estraendo le radici quadrate saremmo incerti se dovessimo tenere $\frac{1}{\rho },\frac{1}{T}$ oppure $-\frac{1}{\rho },-\frac{1}{T}$ Ma le formule (14) si verificano facilmente partendo dalle formule del prof. Bianchi. Quanto alle

$\frac{d\alpha }{d\sigma }=\frac{\xi }{\rho };\frac{d{\alpha }^{\prime }}{d\sigma }=\frac{{\xi }^{\prime }}{\rho }$

basta ricordare i valori effettivi dei nostri parametri e la loro dimostrazione riesce immediata; osserviamo ora p. es. la

γ)	$\frac{d\xi }{d\sigma }=-\frac{\alpha }{\rho }-\frac{\lambda }{T}.$

Ricordiamo che

$\xi ={\eta }_1{x}_2-{\eta }_2{x}_1+{\eta }_3{x}_4-{\eta }_4{x}_3.$

Per le formule del prof. Bianchi si deduce, ricordando che $\alpha =[x\xi {]}_1$ e che $\lambda =[x\zeta {]}_1$,

$\frac{d\xi }{d\sigma }=-\frac{\alpha }{\rho }-\frac{\lambda }{\tau }+{\eta }_1{\xi }_2-{\eta }_2{\xi }_1+{\eta }_3{\xi }_4-{\eta }_4{\xi }_3$

Ora ${\eta }_1{\xi }_2-{\eta }_2{\xi }_1+{\eta }_3{\xi }_4-{\eta }_4{\xi }_3$ non è altro che un parametro di scorrimento della retta polare della binormale; e quindi per un teorema già dimostrato (§. 2) è uguale a $\pm \lambda$ a seconda del senso del parallelismo; e la (γ) è dimostrata^[1]. In modo analogo si dimostrerebbero le altre formule (14).

Dalle (14), che così singolarmente si avvicinano alle formule di Frenet per lo spazio piano, deduciamo alcuni risultati, a mio credere, degni di nota.

---

1. Qui si sono usate le $(\lambda ,\mu ,\nu )$ per indicare ambedue le terne $(\lambda ,\mu ,\nu )$, $({\lambda }^{\prime },{\mu }^{\prime },{\nu }^{\prime })$, ciò che certo non genera confusione; si ricordi pure di non confondere la $\xi$ con le ${\xi }_i$.