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Il parallelismo di Clifford negli spazii ellittici

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e le analoghe per $\beta ,\gamma ,\beta ',\gamma ',\eta ,\zeta$ ecc. Però vi sarebbe l’ambiguità di segno nei secondi membri delle (14) proveniente dal fatto che nelle (13) comparisce solo ${\frac {1}{\rho ^{2}}},\,{\frac {1}{T^{2}}}$ e noi estraendo le radici quadrate saremmo incerti se dovessimo tenere ${\frac {1}{\rho }},\,{\frac {1}{T}}$ oppure $-{\frac {1}{\rho }},\,-{\frac {1}{T}}$ Ma le formule (14) si verificano facilmente partendo dalle formule del prof. Bianchi. Quanto alle

${\frac {d\alpha }{d\sigma }}={\frac {\xi }{\rho }};\,{\frac {d\alpha '}{d\sigma }}={\frac {\xi '}{\rho }}$

basta ricordare i valori effettivi dei nostri parametri e la loro dimostrazione riesce immediata; osserviamo ora p. es. la

γ)	${\frac {d\xi }{d\sigma }}=-{\frac {\alpha }{\rho }}-{\frac {\lambda }{T}}.$

Ricordiamo che

$\xi =\eta _{1}x_{2}-\eta _{2}x_{1}+\eta _{3}x_{4}-\eta _{4}x_{3}.$

Per le formule del prof. Bianchi si deduce, ricordando che $\alpha =[x\xi ]_{1}$ e che $\lambda =[x\zeta ]_{1}$,

${\frac {d\xi }{d\sigma }}=-{\frac {\alpha }{\rho }}-{\frac {\lambda }{\tau }}+\eta _{1}\xi _{2}-\eta _{2}\xi _{1}+\eta _{3}\xi _{4}-\eta _{4}\xi _{3}$

Ora $\eta _{1}\xi _{2}-\eta _{2}\xi _{1}+\eta _{3}\xi _{4}-\eta _{4}\xi _{3}$ non è altro che un parametro di scorrimento della retta polare della binormale; e quindi per un teorema già dimostrato (§. 2) è uguale a $\pm \lambda$ a seconda del senso del parallelismo; e la (γ) è dimostrata¹. In modo analogo si dimostrerebbero le altre formule (14).

Dalle (14), che così singolarmente si avvicinano alle formule di Frenet per lo spazio piano, deduciamo alcuni risultati, a mio credere, degni di nota.

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1. Qui si sono usate le $(\lambda ,\mu ,\nu )$ per indicare ambedue le terne $(\lambda ,\mu ,\nu )$, $(\lambda ',\mu ',\nu ')$, ciò che certo non genera confusione; si ricordi pure di non confondere la $\xi$ con le $\xi _{i}$.