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G. Fubini

mentre l’equazione di Guichard sottratta dalla precedente diventa

δ)

\frac{\partial^{2} τ}{\partial u \partial v} = {\begin{matrix} 12 \\ 1 \end{matrix}} {\begin{matrix} 12 \\ 2 \end{matrix}} - {\begin{matrix} 22 \\ 1 \end{matrix}} {\begin{matrix} 11 \\ 2 \end{matrix}} - \frac{\partial {\begin{matrix} 12 \\ 1 \end{matrix}}}{\partial u} - \frac{\partial {\begin{matrix} 12 \\ 2 \end{matrix}}}{\partial v} - F .

Quest’ultima dà un risultato della forma $τ = M (u, v) + \int φ (u) d u +$ $+ \int ψ (v) d v$ dove $M$ è noto, $φ$ e $ψ$ sono da determinarsi. Sostituendo nella precedente equazione si ha $ψ (v)$ in funzione di $φ (u)$ ; derivando rispetto $(u)$ si ottiene per $φ (u)$ un’equazione della forma

$A φ^{2} + B φ + C + D φ^{'} = 0$ con $A, B, C$ note.

Quest’equazione ripetutamente derivata rispetto $v$ dà il mezzo di determinare $φ$ , e quindi $τ$ e la congruenza. Senza entrare in facili discussioni minute si osservi ancora che supposto $F = 0$ le equazioni precedenti divengono

$\frac{\partial^{2} τ}{\partial u \partial v} = \frac{\partial^{2} \log \sqrt{E G}}{\partial u \partial v}; \frac{\partial τ}{\partial u} \frac{\partial τ}{\partial v} + \frac{\partial \log \sqrt{E}}{\partial v} \frac{\partial τ}{\partial u} + \frac{\partial \log \sqrt{G}}{\partial u} \frac{\partial τ}{\partial v} = 0.$

Mutando i parametri delle $u = c o s t .$ , $v = c o s t .$ si può fare che $ρ = \frac{1}{\sqrt{E G}}$ soddisfi ad ambedue; posto così

$τ = - \log \sqrt{E G} + \int φ (u) d u + \int ψ (v) d v$

si ha

$φ ψ = φ \frac{\partial \log \sqrt{G}}{\partial v} + ψ \frac{\partial \log \sqrt{E}}{\partial u} + \frac{\partial (\log \sqrt{E}, \log \sqrt{G})}{\partial (u, v)} = 0$

e poichè $φ = ψ = 0$ è una soluzione, $E$ è funzione di $G$ . Ecco qui il teorema di Weingarten per le superficie $W$ . Ma qui osserviamo che se è risolubile l’equazione

$1 = \frac{1}{φ (u)} \frac{\partial \log \sqrt{G}}{\partial u} + \frac{1}{ψ (v)} \frac{\partial \log \sqrt{E}}{\partial v}$

ciò che avviene p. es. per $E = 1$ , $G = {sen}^{2} u$ si ottengono dall’elemento lineare stesso altre congruenze $W$ .