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Il parallelismo di Clifford negli spazii ellittici

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Qui di nuovo vanno insieme i segni superiori (inferiori) e l’ambiguità del segno è dovuta al doppio senso del parallelismo. E si noti che:

La parte di segno costante e la parte di segno variabile di $ds'^{2}$ potrebbero servire come forme individuanti un sistema di superficie parallele.

La parte di segno costante è evidentemente la somma dei quadrati degli elementi lineari corrispondenti sulle due superficie polari; quanto alla parte di segno variabile si verifica facilmente che anche nello spazio ellittico la torsione geodetica di una curva nel punto $A$ (torsione della geodetica tangente in $A$) è data da ${\frac {1}{T}}+{\frac {d\sigma }{ds}}$ (dove $T$ è la torsione, $s$ l’arco, $\sigma$ l’angolo con la normale alla superficie della normale principale della curva stessa) che essa è nulla per le linee di curvatura ed è data anche da

${\frac {(FD-ED')du^{2}+(GD-ED'')dudv+(GD'-FD'')dv^{2}}{{\sqrt {EG-F^{2}}}(Edu^{2}+2Fdudv+Gdv^{2})}}$

Si ha allora che la torsione geodetica di un elemento di curva è uguale a meno di un fattore numerico alla parte variabile dei quadrati degli elementi lineari di Clifford della superficie (cioè alla differenza dei quadrati dei due archetti immagine) divisa per il quadrato della lunghezza dell’elemento stesso.

Siano ora le $u$, $v$ le linee di curvatura della superficie; ricordando le equazioni di Codazzi, otteniamo in tal caso

$e={\frac {E}{\operatorname {sen} ^{2}w_{2}}}=E\left(1+{\frac {1}{r_{2}^{2}}}\right)$

$f=\pm {\sqrt {EG}}(\operatorname {cotg} w_{1}-\operatorname {cotg} w_{2})=\pm {\sqrt {EG}}\left({\frac {1}{r_{1}}}-{\frac {1}{r_{2}}}\right)$

$g={\frac {G}{\operatorname {sen} ^{2}w_{1}}}=G\left(1+{\frac {1}{r_{1}^{2}}}\right)$

dove $r_{1}$, $r_{2}$ sono i raggi di curvatura della superficie.