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Il parallelismo di Clifford negli spazii ellittici

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della curvatura di

$e d u^{2} + 2 f d u d v + g d v^{2}$

e che contengono linearmente “ $f$ „ e le sue derivate è nullo; ciò che deve avvenire nel nostro caso perchè scambiando il segno di $f$ l’elemento resta ancora un elemento sferico; otterremo

$\frac{\partial}{\partial u} [\frac{\frac{1}{r_{1}} - \frac{1}{r_{2}}}{1 + \frac{1}{r_{1} r_{2}}}] \frac{\partial \log [E (1 + \frac{1}{r_{2}^{2}})]}{\partial v} - \frac{\partial}{\partial v} [\frac{\frac{1}{r_{1}} - \frac{1}{r_{2}}}{1 + \frac{1}{r_{1} r_{2}}}] \frac{\partial \log [E (1 + \frac{1}{r_{2}^{2}})]}{\partial u} +$

$+ 2 \frac{\partial}{\partial v} [\frac{\frac{\partial}{\partial u} [\sqrt{E G} (\frac{1}{r_{1}} - \frac{1}{r_{2}})]}{\sqrt{E G} (\frac{1}{r_{1} r_{2}})}] = 0.$

Il terzo termine di questa somma è

$\frac{\frac{1}{r_{1}} - \frac{1}{r_{2}}}{1 + \frac{1}{r_{1} r_{2}}} {\frac{\partial^{2} \log E}{\partial u \partial v} + 2 \frac{\partial^{2} \log [\sqrt{G} (\frac{1}{r_{1}} - \frac{1}{r_{2}})]}{\partial u \partial v}} +$

$+ \frac{\partial}{\partial v} [\frac{\frac{1}{r_{1}} - \frac{1}{r_{2}}}{1 + \frac{1}{r_{1} r_{2}}}] {\frac{\partial \log E}{\partial u} + 2 \frac{\partial \log [\sqrt{G} (\frac{1}{r_{1}} - \frac{1}{r_{2}})]}{\partial u}} .$

Unendo i termini che contengono $E$ e quelli che contengono $G$ , l’uguaglianza precedente diventa dunque

$\frac{\partial}{\partial u} [\frac{\frac{1}{r_{1}} - \frac{1}{r_{2}}}{1 + \frac{1}{r_{1} r_{2}}} \frac{\partial \log E}{\partial v}] + 2 \frac{\partial}{\partial v} [\frac{\frac{1}{r_{1}} - \frac{1}{r_{2}}}{1 + \frac{1}{r_{1} r_{2}}} \frac{\partial \log {\sqrt{G} (\frac{1}{r_{1}} - \frac{1}{r_{2}})}}{\partial u}] +$

$+ \frac{\partial}{\partial u} (\frac{\frac{1}{r_{1}} - \frac{1}{r_{2}}}{1 + \frac{1}{r_{1} r_{2}}}) \frac{\partial \log (1 + \frac{1}{r_{2}^{2}})}{\partial v} - \frac{\partial}{\partial v} (\frac{\frac{1}{r_{1}} - \frac{1}{r_{2}}}{1 + \frac{1}{r_{1} r_{2}}}) \frac{\partial \log (1 + \frac{1}{r_{2}^{2}})}{\partial u} = 0.$