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56 G. Fubini


Così si spiega l’origine della condizione dei teoremi di Weingarten dello spazio euclideo “che sia e funzione di g„.

Di più noi vediamo:

Condizione necessaria e sufficiente affinchè una superficie sia è che si possa fare:

Se è costante non nulla ed e sono funzioni tali della o della , che non mutano valore scambiando “„ in “„ o “„ in “„, l’elemento lineare corrisponde all’immagine piana di una superficie .

Infatti scambiando in (oppure in ) e non mutano di valore, mentre cambia solo di segno; e ci troviamo quindi in presenza di due forme a curvatura che differiscono solo per il segno di costante.

Dobbiamo ora risolvere esplicitamente una questione, già accennata altre volte, di costruire cioè per quadrature una superficie di cui siano date le immagini piane; il processo è affatto differente da quello che si segue nello spazio euclideo, ma ancora più semplice.

Siano e due punti corrispondenti delle due immagini piane sul piano . Scegliendo il piano come superficie di partenza della corrispondente congruenza normale avremo (§. 4) per un raggio generico di questa congruenza

, , ,

, , ,

Per essere questa congruenza normale, potremo porre