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$QM$, e $qM$ togliendo le eguali $PM$, $pM$; i residui $QP$, $qp$ saranno eguali.

15. Corollario. Sarà dunque $(QM)^{2}=(AQ)^{2}-(AM)^{2}$ (47, lib. 1.).

16. Lemma. Stanti le stesse cose del §. 13. sarà $(AQ)^{2}=(AP)^{2}+(PQ)^{2}+Pp.PQ$.

Dimostrazione. Poichè è $(AQ)^{2}=(AP)^{2}+(PQ)^{2}+2MP.PQ$ (12, lib. 2.). Ma è $2MP=Pp$ (§. 14.). Dunque ec.

17. Lemma. Sarà pure $(AQ)^{2}=(Ap)^{2}+(pQ)^{2}-pP.pQ.$

Dimostrazione. Poichè è $(AQ)^{2}=(Ap)^{2}+(pQ)^{2}-2pM.pQ$ (13, lib. 2.). Ma e $2pM=pP$ (§. 14.). Dunque ec.

18. Corollario 1. Essendo $pQ=pP+PQ$; sarà $(pQ)^{2}=pP.pQ+PQ.pQ$ (2, lib. 2.); quindi sottraendo $pP.pQ$ si ha $(pQ)^{2}-pP.pQ=PQ.pQ$. E fatta la sostituzione di questo valore nel valore di $(AQ)^{2}$ del §. 17., si avrà $(AQ)^{2}=(Ap)^{2}+pQ.PQ$. Donde sottraendo di qua e di là $(Ap)^{2}$, nasce $(AQ)^{2}-(Ap)^{2}=pQ.PQ$. Se ora si eseguisca la moltiplicazione di $AQ+Ap$ per $AQ-Ap$; si troverà $(AQ+Ap)(AQ-Ap)=(AQ)^{2}-(Ap)^{2}$. Quindi si avrà $(AQ+Ap)(AQ-Ap)=pQ.PQ$. Donde per la 16, lib. 6. si deduce l’analogia $pQ:AQ+Ap::AQ-Ap:PQ$, ossia sostituendo $AP$ in luogo di $Ap$, e in-